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Beweis für Teilbarkeit / 3 mit Termumformung
Schüler Fachschulen, 8. Klassenstufe
Tags: Algebra
 
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anonymous 21:52 Uhr, 04.04.2005  |
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Wie kann durch Termumformung bewiesen werden, dass für alle n>1 der Term n³-n durch 3 teilbar ist ? |
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Abraxas ist mit Dir! Ein Produkt natürlicher Zahlen ist genau dann durch 3 teilbar, wenn mindestens ein Faktor durch 3 teilbar ist. Bezüglich der Teilbarkeit durch 3, gibt es für jede natürliche Zahl n>1 genau drei Zustände. 1.) n ist durch 3 teilbar (3, 6, 9, 12,...) 2.) n muss um 1 vergrößert werden, um durch 3 teilbar zu sein (2, 5, 8, 11,...) 3.) n muss um 1 verkleinert werden, um durch 3 teilbar zu sein (4, 7, 10, 13,...) Wie man sieht decken die drei Zustände alle natürlichen Zahlen n>1 ab: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,... Nun lässt sich der Term n³-n wie folgt umformen: n³ - n Potenz umschreiben (ein n runter) n*n² - n n ausklammern n * (n² - 1) In der Klammer steht das Ergebnis der 3. Binomische Formel. Diese wird in die Ausgangsformel überführt n * (n+1) * (n-1) Wie bereits festgestellt, kann n drei Zustände bezüglich der Teilbarkeit durch 3 annehmen. In diesem Fall wird jeder der drei Zustände berücksichtigt, so dass ein Faktor auf jeden Fall durch 3 teilbar ist. Und somit ist das ganze Produkt durch 3 teilbar. >>ABRAXAS<< |
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