Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis für Untervektorraum des R^4

Beweis für Untervektorraum des R^4

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Untervektorraum, Vektorraum

Mai05 aktiv_icon

11:37 Uhr, 04.01.2021

Ich habe einige Teilmengen von

R^{4}

gegeben und muss begründen, ob diese jeweils einen reellen Untervektorraum von

R^{4}

bilden oder nicht.
Des Weiteren habe ich den Hinweis, dass

x

ein Spaltenvektor mit der j-ten Komponente xj (j€

{

1,2,3,4,}) ist.

U=

{

x€R^4

| x 1 + x 2 + x 3 = 0; x 2 + x 3 + x 4 = 0}

Um für diese Teilmenge

U

zu beweisen, dass sie ein Untervektorraum ist, muss diese ja die zwei folgenden Bedingungen erfüllen:
1.

(f . a .) u, v

€

U : u + v

€U
2.

(f . a .)

a€

R^{4} (f . a .) u

€

U : a \cdot u

€U

Bei 1. sind ja laut Hinweis

u

und

v

Spaltenvektoren, also wenn ich

u + v

rechne steht da ausgeschrieben das was in dem Bild zu sehen ist. (richtig?)
Ab da komme ich nicht weiter, weil ich mir nicht sicher bin, wie ich die Information

x 1 + x 2 + x 3 = 0; x 2 + x 3 + x 4 = 0

jetzt verarbeiten soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:46 Uhr, 04.01.2021

Wenn

v, w

U

liegen, dann gilt

v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0

v_{2} + v_{3} + v_{4} = 0

und

w_{1} + w_{2} + w_{3} = 0

w_{2} + w_{3} + w_{4} = 0

.
Daraus folgt

(v_{1} + w_{1}) + (v_{2} + w_{2}) + (v_{3} + w_{3}) = 0

und

(v_{2} + w_{2}) + (v_{3} + w_{3}) + (v_{4} + w_{4}) = 0

.
Also liegt auch

v + w

U

Mai05 aktiv_icon

12:27 Uhr, 04.01.2021

Ist es dann für die zweite Bedingung so:

DrBoogie aktiv_icon

12:36 Uhr, 04.01.2021

Nein. Wie schon so oft, das kann man nur als ein abstraktes Gemälde betrachten. Aus mathematischer Sicht ist es Unsinn von oben bis unten.
Du multiplizierst einen Vektor mit einer Zahl und bekommst plötzlich eine Summe aus Zahlen. Wie denn? Das Ergebnis muss doch ein Vektor sein! Was du weiter machst, ist überhaupt nicht zu erkennen.

Und schreibe Wörter!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Mai05 aktiv_icon

12:50 Uhr, 04.01.2021

Wie muss ich denn dann bei der Bedingung rangehen?

DrBoogie aktiv_icon

12:58 Uhr, 04.01.2021

Ganz ähnlich wie bei der Summe.

Sei

z

eine Zahl und sei

v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4})

aus

U

. Dann gilt

v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0

und

v_{2} + v_{3} + v_{4} = 0

.
Daraus folgt

z (v_{1} + v_{2} + v_{3}) = z v_{1} + z v_{2} + z v_{3} = 0

und

z (v_{2} + v_{3} + v_{4}) = z v_{2} + z v_{3} + z v_{4} = 0

.
Aber

z v_{1}, z v_{2}, z v_{3}

und

z v_{4}

sind die Komponenten des Vektors

z v

.
Also liegt auch

z v

U

.

Das Problem ist nur, dass du schon zig solche Beweise gesehen hast. Aber wenn du selbst was schreibst, wird nur chinesische Malerei daraus. Und du versuchst es auch nicht anders.

Mai05 aktiv_icon

13:23 Uhr, 04.01.2021

Ich habe es jetzt nochmal an einem anderen Beispiel versucht und mich möglichst an den Text gehalten.
Aber den Schritt, den der grüne Pfeil im Bild zeigt, verstehe ich nicht. Wie schließe ich da auf einmal daraus, dass v+w€U? Für mich wirkt es, als fehle da etwas.
Aber ist das so im Allgemeinen verständlicher?

DrBoogie aktiv_icon

13:31 Uhr, 04.01.2021

"Aber den Schritt, den der grüne Pfeil im Bild zeigt, verstehe ich nicht. Wie schließe ich da auf einmal daraus, dass v+w€U?"

Das kannst du nicht, denn

U

ist kein Untervektorraum. Z.B. weil

0

nicht drin liegt.

Mai05 aktiv_icon

13:36 Uhr, 04.01.2021

Kannst Du das genauer erläutern? Liegt 0 nicht in U?

DrBoogie aktiv_icon

13:42 Uhr, 04.01.2021

Das kannst du doch selbst prüfen.
Untersuche die Frage: liegt der Nullvektor in

U

oder nicht?

Mai05 aktiv_icon

13:47 Uhr, 04.01.2021

Ich würde sagen nein, weil die Komponenten

x 2 + x 3

des Nullvektors nicht 1 ergeben können.
Stimmt das?

DrBoogie aktiv_icon

13:50 Uhr, 04.01.2021

Ja, das stimmt

Mai05 aktiv_icon

14:39 Uhr, 04.01.2021

Danke.
Ich habe noch eine Frage zu einer anderen Aufgabe (im Bild zu sehen).
Bei der zweiten Aufgabe muss ich ja die Relation auf Symmetrie, Reflexivität und Transitivität prüfen.

Ist

z . B

. bei der Symm.

((f . a .)

x

,y€

G :

xRy

\Rightarrow

yRx)

x = (a, b)

und

y = (c, d)

oder

x = a

und

y = b

?
Und ist die Relation a!b^(-1)€U?

!=Sternchen

ledum aktiv_icon

19:06 Uhr, 04.01.2021

Bitte nicht alle deine Fragen in einem thread. Neue Frage (also keine Rückfrage, neuer thread, schliß dies Frage hier ,it einem Haken und stell die neue neun
ledum

1525117

1525026

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?