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Beweis für gleiche Mengen von Z und N

Universität / Fachhochschule

Tags: Ganze Zahlen, Kardinalität, Mächtigkeit, Menge, natürliche Zahlen

anonymous

22:55 Uhr, 08.10.2013

Ich möchte beweisen, dass alle geraden ganzen Zahlen die gleiche Kardinalität der natürlichen Zahlen haben.

| 2 N | = | N |

Wie kann ich das am einfachsten darstellen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ganze Zahlen addieren/subtrahieren

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23:31 Uhr, 08.10.2013

Dafür musst du die geraden ganzen Zahlen ja einfach nur durchnummerieren. Wenn du bei der null anfängst, ist es halt wichtig, dass du das dann in beide Richtungen weitertreibst also zum Beispiel

0,2, - 2,4, - 4, . .

. Damit hättest du dann ja eine passende Bijektion gefunden.

anonymous

23:33 Uhr, 08.10.2013

Das habe ich getan, aber reicht das als Beweis aus? Kann man das noch in eine Formel packen?

Bummerang

09:27 Uhr, 09.10.2013

Hallo,

wie wäre es hiermit:

f (n) = {(- 1)}^{n} \cdot (n + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}

Diese Abbildung bildet jedes gerade

n_{g}

ab auf:

f (n_{g}) = {(- 1)}^{n}_g \cdot (n_{g +} \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = n_{g +} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = n_{g}

und jedes ungerade

n_{u}

auf:

f (n_{u}) = {(- 1)}^{n}_u \cdot (n_{u} + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = - (n_{u} + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = - n_{u} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = - n_{u} - 1 = - (n_{u} + 1)

Das ergibt für die ersten

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natürlichen Zahlen mit 0:

0, - 2, 2, - 4, 4, - 6, 6, - 8, 8, - 10, 10

Diese Funktion ist injektiv und surjektiv:

Sei

g \in 2 \cdot ℤ

gegeben, dann gibt es für

g

zwei Möglichkeiten:

Fall

1 : g \geq 0

Dann gibt es genau eine gerade natürliche Zahl

n

(mit

0),

für die gilt:

g = n = f (n); 1

. Teil der Surjektivität

und für ungerade natürliche Zahl

n'

gilt:

g \geq 0 \geq f (n'); 1

. Teil der Injektivität

denn ungerade natürliche Zahlen werden ja auf negative Funktionswerte abgebildet.

Fall

2 : g < 0

Dann gibt es genau eine ungerade natürliche Zahl

n,

für die gilt:

g = - (n + 1) = f (n); 2

. Teil der Surjektivität

und für gerade natürliche Zahl

n'

gilt:

g < 0 \leq f (n'); 2

. Teil der Injektivität

denn gerade natürliche Zahlen werden ja auf nichtnegative Funktionswerte abgebildet.

Damit ist unser

f (n)

eine Bijektion der natürlichen Zahlen auf die geraden ganzen Zahlen und beide Mengen sind gleichmächtig.

PS: Ich habe mich auf den Text bezogen, dort ist von der Menge der geraden ganzen Zahlen und der Menge der natürlichen Zahlen die Rede. In der darunterstehenden Gleichung ist aber nicht die Mächtigkeit der Menge der geraden ganzen Zahlen, sondern nur die Mächtigkeit der Menge der geraden natürlichen Zahlen angegeben. Die Bijektion

f : ℕ \to 2 \cdot ℕ

dafür wäre dann

f (n) = 2 \cdot n

. Da zeigt man analog und einfacher, dass es eine Bijektion ist, indem man die Umkehrfunktion

f^{- 1} (m) = \frac{1}{2} \cdot m

angibt und zeigt, dass

f (f^{- 1} (m)) = m

und

f^{- 1} (f (n)) = n

ist.

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