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Beweis für komplementären Verband

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: mengen, Verband

theotter aktiv_icon

14:07 Uhr, 16.12.2011

Ich habe einen vollständigen Verband gegeben und ich soll beweisen, dass der komplementär ist.

Darf ich bei solch einem Beweis eigentlich nur die Operationen benutzen, die der Verband selbst besitzt??

Also ich habe zum Beispiel die Operationen Vereinigung und Schnitt von Mengen.

Darf ich für den Beweis dann auch den Komplementoperator "/"(abziehen einer Menge bzw. Element von einer Menge) benutzen???

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

22:22 Uhr, 16.12.2011

Besteht dein Verband aus Mengen und sind seine Verbandsoperationen durch die Standard-Mengenoperationen gegeben? Dann darfst du die gesamte Mengenlehre bis zum Anschlag verwenden. Gegebenenfalls ist allerdings zu zeigen, dass die von dir auf anderem Wege konstruierten Mengen tatsächlich zum in der Aufgabenstellung vermutlich einigermaßen konkret definierten Verband gehören.
Dagegen wäre bei einem allgemeinen (nicht distributiven) Verband "das" Komplement noch nicht einmal eindeutig bestimmt!

theotter aktiv_icon

00:01 Uhr, 17.12.2011

Mein Verband sieht folgendermaßen aus:

V =

(P(N),Schnitt, Vereinigung)
Er hat also als Menge die Potenzmenge der natürlichen Zahlen und die beiden Operatoren
Vereinigung und Schnitt.
Des Weiteren können wir davon ausgehen, dass er vollständig ist.

hagman aktiv_icon

10:27 Uhr, 17.12.2011

Es muss nicht

ℕ

sein, es gilt für jede Menge

N :

Die Bedingungen für Komplementarität folgen sofort:

X \cap N = X

und

X \cup \emptyset = X

gilt für alle

X \subseteq N,

also ist

V

nach oben durch

N

und nach unten durch

\emptyset

beschränkt.
Da mit

X

stets auch

Y := N \ X

eine Teilmenge von

N

ist und dann

X \cap Y = \emptyset

und

X \cup Y = N

gilt, ist

V

auch komplementär.
Die Vollständigkeit (dass also die Vereinigung beliebig vieler Teilmengen von

N

wieder eine Teilmenge vno

N

liefert) ist hierfür völlig irrelevant.

theotter aktiv_icon

14:06 Uhr, 17.12.2011

Danke.
Das hat den Beweis deutlich einfacher gemacht.^^
Ich habe das ganze auch mal versucht mit Induktion zu beweisen, weil ich ja nicht wusste ob ich "" verwenden darf oder nicht.

Induktionsbeweis:

Formel(F1):
Für alle

x

element P(N)(Potenzmenge von

N)

gilt:

x

Schnitt

x^{- 1} = 0

und

x + x^{- 1} = N (\cdot)

Schema:

(P (0)

und ((Pn)->P(n+1)))

\to

für alle

n

element P(N)(Potenzmenge von

N)

gilt

P (n)

"+" = Vereinigung von Mengen

0 =

leere Menge

0^{- 1} =

N(natürliche Zahlen

n =

Potenzmenge der natürlichen Zahlen

n + 1 =

zwei Mengen vereinigt

(A + B)

Für die leere Menge:

1.1

0 Schnitt

0^{- 1} = 0

\to 0

Schnitt

N = 0

(Def Schnitt

+ 0) \to 0 = 0

2.1

0 + 0^{- 1} = N

0 + N = N

(Def "+"

+ 0) \to N = N

Annahme:(AN_1)

F 1

gilt für beliebiges

n

element P(N)(Potenzmenge von

N)

z . z . :

F 1

gilt für

(n + 1)

element P(N)(Potenzmenge von

N)

1.2

(A + B)

Schnitt

{(A + B)}^{- 1} = 0

2.2

(A + B) + {(A + B)}^{- 1} = N

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Unterbeweis(UB):
Formel(F2):

({(A + B)}^{- 1} = A^{- 1}

Schnitt

B^{- 1})

und

((A

Schnitt

B)^{- 1} = A^{- 1} + B^{- 1}) (⋆)

Schema:

(P (0)

und ((Pn)->P(n+1)))

\to

für alle

n e N

gilt

P (n)

Für die leere Menge:

1.3

{(0 + 0)}^{- 1} = 0^{- 1}

Schnitt

0^{- 1}

(Def "+"

+ 0) \to 0^{- 1} = 0^{- 1}

Schnitt

0^{- 1}

(Def

N = 0^{- 1}) \to N = N

Schnitt

N

(Def Schnitt)->

N = N

2.3

(0

Schnitt

0)^{- 1} = 0^{- 1} + 0^{- 1}

(Def Schnitt

+ 0) \to 0^{- 1} = 0^{- 1} + 0^{- 1}

(Def

N = 0^{- 1}) \to N = N + N

(Def

+) \to N = N

- \to

beide Teile bewiesen

\to

gilt für die leere Menge
Annahme: AN_2
Formel(F2) gilt für beliebige Menge element P(N)(Potenzmenge von

N)

z . z . :

F 2

gilt für

(n + 1)

1.4

{((A + B) + (A + B))}^{- 1} = A^{1}

Schnitt

B^{- 1}

Nach AN_2 gilt:

{(A + B)}^{- 1}

Schnitt

{(A + B)}^{- 1} = A^{- 1}

Schnitt

B^{- 1}

Nach AN_2 gilt und Assozisativgesetz:

(A^{- 1}

Schnitt

B^{- 1})

Schnitt

(A^{- 1}

Schnitt

B^{- 1}) = A^{- 1}

Schnitt

B^{- 1}

Idempotenz:

A^{- 1}

Schnitt

B^{- 1} = A^{- 1}

Schnitt

B^{- 1}

Gleicher Beweis für:

((A

Schnitt

B) + (A

Schnitt

B))^{- 1} = A^{1} + B^{- 1}

Ergebnis(ums abzukürzen ;-)

) :

A^{- 1} + B^{- 1} = A^{- 1} + B^{- 1}

- \to A^{- 1} + B^{- 1} = (A

Schnitt

B)^{- 1}

und

A^{- 1}

Schnitt

B^{- 1} = {(A + B)}^{- 1}

ist bewiesen.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1.2

(A + B)

Schnitt

{(A + B)}^{- 1} = 0

aus UB folgt:

(A + B)

Schnitt

A^{- 1}

Schnitt

B^{- 1} = 0

aus Assoziativ

+

kommutativ von Schnitt/"+" folgt:

(A

Schnitt

A^{- 1}) + (B

Schnitt

B^{- 1}) = 0

Aus AN_1 folgt:

0 + 0 = 0

0 = 0

Selber Beweis für

2.2

2.2

(A + B) + {(A + B)}^{- 1} = N

Ergebnis:

N = N

- \to

Es ist bewiesen, dass für alle Elemente aus

P (N)

ein Inverses existiert.

Ist die Induktion korrekt??
Mir gehts gerade ums Üben, weil ne Klausur ansteht.^^

hagman aktiv_icon

20:25 Uhr, 18.12.2011

Nein, du kannst schwerlich irgendeine Aussage über

P (ℕ)

durch Induktion beweisen. Du erhältst wahrscheinlich betsenfalls einen Satz über alle endlichen oder ko-endlichen Mengen, nicht über alle beliebigen Teilmengen

theotter aktiv_icon

20:32 Uhr, 18.12.2011

Warum geht das nicht??
Induktion ist doch ein Beweisverfahren über eine unendliche Menge und da

P (N)

eine solche Menge ist, müsste das doch gehen.
Welcher Punkt wäre bei meiner Induktion denn falsch??

hagman aktiv_icon

20:40 Uhr, 18.12.2011

Induktion ist ein Verfahren zum Beweis von Aussagen über alle natürlichen Zahlen, nicht Aussagen über die Menge der natürlichen Zahlen.

Du kannst nicht von

n \in P (ℕ)

sprechen, weil (wenn man Zahlen als Urobjekte auffasst) keine Mengen und also auch keine Teilmengen von

ℕ

sind.
Oder auch: Wenn du mit

n

wirklich ein Element von

P (ℕ),

also eine Teilmenge von

ℕ

bezeichnest, gibt es keinen offensichtlichen Nachfolger, durch den

P (ℕ)

zu einer (für Induktion erforderlicherweise) wohlgeordneten Menge wird.

theotter aktiv_icon

21:02 Uhr, 18.12.2011

Also bei uns anner Uni haben wir Induktion ebenso auf Sprachen bzw. Wörter angewandt.

Der Nachfolger eines Wortes war dabei das Wort konkateniert mit einem weiteren Buchstaben.

Warum kann man da Induktion anwenden??

hagman aktiv_icon

21:13 Uhr, 18.12.2011

In dem Fall handelt es sich letztlich um Induktion nach der Wortlänge (eine natürliche Zahl).
Möglicherweise habt ihr auch strukturelle Induktion gehabt?

Aber während jedes Wort selbst endliche Länge hat, enthält

P (ℕ)

durchaus Menegn, die selbnst bereits nicht mehr endlich sind.

theotter aktiv_icon

21:17 Uhr, 18.12.2011

Ahh, ok, also ist Induktion nur anwendbar, wenn es um eine Menge der natürlichen Zahlen geht bzw. etwas was in diese Form gebracht werden kann wie bei den Wörtern.

Richtig??

Wenn ich jetzt wüsste, dass bei der Potenzmenge nur endliche Mengen drin wären, könnte ich dann Induktion anwenden??

Oder geht es immernoch nicht, weil ich keinen genauen Nachfolger habe??

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