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Beweis für n über k (Binomialkoeffizient)

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient

leeela aktiv_icon

15:22 Uhr, 18.10.2012

Hallo,
ich wäre dankbar über eine Hilfe zu folgender Aufgabe :-)

(Kann leider den Formeleditor nicht aufrufen. Ich hoffe dies ist so auch verständlich

\to

'über'= untereinander in einer großen Klammer geschrieben. Zudem hab ich es noch als Bild beigefügt).

Man soll

(n

über

k) + (n

über

[k + 1]) = ([n + 1]

über

[k + 1])

beweisen, indem man die Identität

(N

über

m) = \frac{N!}{m! (N - m)!}

mehrmals verwendet.

Leider fehlt mir hierzu der Ansatz, wie die Aufgabe zu lösen ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Shipwater aktiv_icon

15:27 Uhr, 18.10.2012

Eigentlich ist doch offensichtlich wie man hier anfangen muss. Eben mit der Definition:

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ k + 1 \end{matrix}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} + \frac{n!}{(k + 1)! (n - (k + 1))!} = ...

leeela aktiv_icon

15:59 Uhr, 18.10.2012

ok, danke schonmal!

soweit kann ich das auch nachvollziehen (denke ich)... man drückt die obere Formel durch die untere Identität aus, sprich:

n = N

und

k

(bzw.

k + 1) = M

. Hab ich das richtig verstanden?

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16:20 Uhr, 18.10.2012

Jap bisher haben wir nur die "Definition" angewandt. Jetzt solltest du die Brüche auf den gleichen Nenner bringen.

leeela aktiv_icon

16:42 Uhr, 18.10.2012

ok, ich habs mal versucht:

\frac{n! (k + 1)! (n - (k + 1))! + n! k! (n - k)!}{k! (n - k)! (k + 1)! (n - (k + 1))!}

wie mach ich jetzt weiter?
und wie komme ich zum Beweis? (Leider habe ich keine Ahnung worauf man letztendlich hinaus will).

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16:50 Uhr, 18.10.2012

Das ist schon fast Kindergartenniveau wie du da erweitert hast. Bei

\frac{3}{20} + \frac{1}{15}

rechnest du doch auch nicht

\frac{3 \cdot 15}{20 \cdot 15} + \frac{20}{15 \cdot 20}

sondern

\frac{3 \cdot 3}{20 \cdot 3} + \frac{4}{15 \cdot 4}

oder? Erweitere also mal ein bisschen geschickter. Und du kannst auch mal

(\begin{matrix} n + 1 \\ k + 1 \end{matrix})

laut Definition berechnen, dann weißt du wohin die Rechnung führen muss.

leeela aktiv_icon

19:02 Uhr, 20.10.2012

okay, mir ist ja auch klar, dass man den 'kleinsten gemeinsamen Nenner' finden muss. Mir ist nur nicht klar, ob ich Fakultäten 'aufteilen' darf,

z . B

(k + 1)! = k! + 1!

achso, dann muss ich beweisen, dass auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen dass selbe steht, ok! :-)

dann bedeutete dies für
(n+1)über(k+1)=

\frac{(n + 1)!}{(k + 1)! ((n + 1) - (k + 1))!}

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19:05 Uhr, 20.10.2012

Es ist doch

3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

aber mit

k! + 1!

wäre bei

3! = 2! + 1!

2 \cdot 1 + 1 = 3

also offenbar falsch.

Wie sieht es denn damit aus: Wie kommst du von

3!

4!

wobei

4! = (3 + 1)!

Und nun schau wo im nenner überall Unterschiede bestehen und erweitere entsprechend.

leeela aktiv_icon

19:19 Uhr, 20.10.2012

könnte ich dann einfach den linken Quotienten mit

(k + 1)

erweitern? (oder müsste ich ihn mit (k+1)² erweitern?)

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19:22 Uhr, 20.10.2012

Wieso denn Quadrat?

Also du beginnst in Shipwaters Post von

15 : 27 (18.10)

Hier den linken Bruch mit

(k + 1)

zu erweitern halte ich für eine gute Idee.

Was ist mit dem rechten Bruch?

leeela aktiv_icon

19:31 Uhr, 20.10.2012

genau,
also würde mit der erweiterung im nenner

k! \cdot (k + 1) = (k + 1)!

sein, habe ich das richtig verstanden?

dann müsste nur noch den Teil

(n - (k + 1))!

erweitern. vielleicht mit

(n + 1)

Underfaker aktiv_icon

19:38 Uhr, 20.10.2012

"Habe ich das richtig verstanden" Ja und nein, in diesem Moment ja aber wenn ich den nächsten Satz betrachte dann doch eher nicht.

(n - (k + 1))! = (n - k - 1)!

(n - k - 1)! \cdot x = (n - k)!

Was ist logischerweise x? Doch sicher nicht

(n + 1)

leeela aktiv_icon

19:43 Uhr, 20.10.2012

achso, ok!
dann wäre

x

doch

(n - k)!

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19:44 Uhr, 20.10.2012

Nein. Auch kleinste Feinheiten vermögen falsch zu sein.

leeela aktiv_icon

19:46 Uhr, 20.10.2012

hab mich verschrieben, ich meinte

x = (n - k)

Underfaker aktiv_icon

19:48 Uhr, 20.10.2012

Und nun schaffst du den Rest?

leeela aktiv_icon

19:57 Uhr, 20.10.2012

ich bin mir leider noch nicht ganz sicher! (vielen dank bis hierhin schonmal für die geduld! einiges ist mir schon klarer geworden :-))

somit wäre die Lösung ja: