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Beweis für selbstadjungierten Endomorphismus

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Lineare Abbildungen

Skalarprodukte

Vektorräume

Tags: Endomorphismus, Linear Abbildung, Selbstadjungiert, Skalarprodukt, Vektorraum

TheSky aktiv_icon

22:29 Uhr, 11.07.2016

Hallo,

ich sitze gerade an einer Übungsaufgabe, und komme nicht weiter.
Teilaufgabe a) habe ich bereits gelöst. Bei b) und c) jedoch, komme ich nicht drauf, wie ich die Aussagen beweisen kann. Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank im Vorraus.

Die Aufgabe lautet:

Sei V ein euklidischer Vektorraum. Für v,w

\in

V sei

Φ_{v, w} \in E n d (V)

gegeben durch

Φ_{v, w} (x) = 〈 v, x 〉 \cdot w - 〈 w, x 〉 \cdot v

Zeigen Sie folgende Aussagen:
a)

〈 Φ_{v, w} (x), y 〉 = 〈 x, Φ_{w, v} (y) 〉

für alle

x, y \in V

.
b) Für alle

x \in V

steht

Φ_{v, w} (x)

senkrecht auf

x

.
c)

Φ_{v, w}

ist genau dann selbstadjungiert, wenn v und w linear abhängig sind.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

mathe-mitch aktiv_icon

22:43 Uhr, 11.07.2016

Ich nenne deine Abbildung F.

< x, F (x) > = < x, < v, x > w - < w, x > v > = < v, x > < x, w > - < w, x > < x, v > = < v, x > < x, w > - < x, w > < v, x > = 0 \Rightarrow x

orth. zu

F (x)

Funtak aktiv_icon

19:31 Uhr, 12.07.2016

Das kommt mir bekannt vor ;-) Hänge auch an der

c)

TheSky aktiv_icon

21:02 Uhr, 12.07.2016

@mathe-mitch: Ah, vielen Dank. Auf die Lösung hätte ich eigentlich auch selbst kommen können ^^

@Funtak

Aufgabe c) hab ich mitlerweile (hoffentlich richtig) gelöst.

zu zeigen ist:

Φ_{v, w}

selbstadjungiert

\overset{}{\Leftrightarrow}

v und w linear abhängig

zuerst die Hin-richtung:
Wir zeigen:

Φ_{v, w}

ist selbstadjungiert

\Rightarrow

v und w sind linear abhängig

ist

Φ_{v, w}

selbstadjungiert, so gilt für alle x

\in

〈 v, x 〉 \cdot w - 〈 w, x 〉 \cdot v

〈 w, x 〉 \cdot v - 〈 v, x 〉 \cdot w

...etwas Formelumstellen

v = \frac{〈 v, x 〉 \cdot w}{〈 w, x 〉}

\Rightarrow

v lässt sich als Vielfaches von w darstellen

\Rightarrow

v und w sind linear abhängig.

Rückrichtung:
wir zeigen: sind v,w linear abhängig

\Rightarrow Φ_{v, w}

ist selbstadjungiert.

Sind v und w linear abhängig, so existiert für alle v,w

\in

V ein a

\in ℝ

für das gilt:

w = a \cdot v

für alle

x \in V

gilt:

Φ_{v, w} (x) = 〈 v, x 〉 \cdot w - 〈 w, x 〉 \cdot v

= 〈 v, x 〉 \cdot a \cdot v - 〈 a \cdot v, x 〉 \cdot v

...wieder etwas Formelumstellen

= 〈 w, x 〉 \cdot v - 〈 v, x 〉 \cdot w

= Φ_{v, w}^{*} (x)

\Rightarrow Φ_{v, w} (x)

ist selbstadjungiert

Somit hätten wir insgesamt gezeig, dass gilt:

Φ_{v, w}

selbstadjungiert

\overset{}{\Leftrightarrow}

v und w linear abhängig

TheSky aktiv_icon

16:00 Uhr, 14.07.2016

Danke @mathe-mitch. Hast mir sehr geholfen.

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