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Beweis für unendliche Erzeugendensysteme
Universität / Fachhochschule
Vektorräume
Tags: basis, Erzeugendensystem, Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum
 
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Hallo zusammen, Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe aus dem Skript meiner Mathevorlesung. "Beweisen oder widerlegen Sie: Wenn in einem K-Vektorraum V ein unendliches Erzeugendensystem existiert, dann gibt es für jedes n aus den natürlichen Zahlen ein linear unabhängiges System in V der Länge n." Leider bin ich hier etwas aufgeschmissen, da ich nicht wirklich weiß, wie ich mit einem unendlichen Erzeugendensystem umgehen soll. Ich habe mir gedacht, dass ein unendliches Erzeugendensystem ja definitiv für eine unendlich große Menge spricht. Somit könnte ich stets linearunabhängige Systeme der Größe n bilden, wenn ich einfach n Vektoren der Länge n benutze und an jedem Vektor nur eine Stelle auf 1 setze und sonst alle anderen auf 0. z.B.: n = 1: linear-una. System: ((1)) n = 2: linear-una. System: ((1,0), (0,1)) n = 3: linear-una. System: ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) usw. Dann müssten die Vektoren ja linear unabhängig sein. Und das geht ja dann auch bis zu einer zu einer unendlichen Größe, wie z.B. der Länge der Zahlen in N, oder? Ich tue mich aber sehr schwer das irgendwie in einen formal richtigen Beweis zu schreiben. Ist meine Idee erstmal korrekt und falls ja, hat jemand einen Tipp, wie ich das formal sauber aufschreiben kann? Vielen Dank und LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, ist doch selbst ein Erzeugendensystem von ;-) Gruß ermanus |
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Hallo, und danke für die Antwort. :-) Ich fürchte aber, ich verstehe leider noch nicht so ganz, worauf du hinaus willst. Wenn V also stets ein Erzeugendensystem von sich selbst ist, dann ist die anfängliche Bedingung ja hinfällig, weil sie eh immer gilt. Dann müsste ich beweisen, dass die Aussage immer in jedem unendlichen K-Vektorraum gilt. Also so?: "Es gibt für jedes n aus den natürlichen Zahlen ein linear unabhängiges System im unendlichen K-Vektorraum V der Länge n." Leider weiß trotzdem nicht so recht, wie ich da jetzt einen sinnvollen Beweis ansetzen soll. Könntest du mir vielleicht bitte noch einen kleinen Tipp geben? Dankeschön :-) |
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Ja. Du siehst an meiner Bemerkung, dass die Aussage Unsinn ist. Sei der 1-dimensionale reelle Vektorraum über . Dieser hat das unendliche Erzeugendensystem . Dennoch sind bereits je zwei seiner Vektoren (=Elemente) linear abhängig. |
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Ah okay. Da war ich völlig auf der falschen Spur. Ich glaube aber jetzt habe ich es verstanden. Dankeschön. :-) |
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Hallo lieber Elch, bitte abhaken ! |
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