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Beweis, ganzzahlige Einträge, det =+-1
Universität / Fachhochschule
Determinanten
Tags: Determinanten
 
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Es sei A eine invertierbare Matrix mit ganzzahligen Einträgen. Nun soll ich zeigen, dass die inverse Matrix genau dann ganzzahlige Einträge hat, wenn . Dazu muss ich doch die beiden Richtungen zeigen: sei hat ganzzahlige Einträge hat ganzzahlige Eintrage Die Voraussetzung, dass ganzzahlige Einträge hat, ist ja, dass auch die adjungierte Matrix von A ganzzahlige Einträge hat. Leider komm ich damit aber auch nicht viel weiter! Könnt ihr mir vielleicht einen Tipp geben? Vielen Dank!! |
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Hat niemand eine Idee? |
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Doch, ich ;-) Wenn die Determinate +/- 1 ist, dann ist aus Konstruktion der Inversen von A über Adjunkte klar, dass auch A^-1 ganzzahlig ist, weil Adjunkte durch +/- und * gebildet werden. Andererseits: wäre die Determinante einer derartigen Matrix von 1 verscheiden, dann müsste (det A) jede Adjunkte Aij teilen, also teilt (det A)^n die Determinate der Matrix (Aij) der Adjunkten Aij, aber deren Determinante ist (det A)^(n-1), d.h. 1/detA ist ganz, also det A gleich 1 oder -1. Gruß Stephan |
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ist mir jetzt klar, danke schon mal! Bei blick ich noch nicht ganz durch. Du beweist ja durch Widerspruch und gehst davon aus, dass ist. Dann muss also diese Determinante jeden Eintrag der adjunkten Matrix teilen. So weit komm' ich noch mit. Von da an versteh' ich aber nicht ganz was du mit machst. Wieso muss die Determinante der Adjunkten teilen? Und wieso weisst du, dass deren Determinante ist? Vielen Dank schon mal!!! |
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Eine Determinante wird gebildet aus Summen von Produkten der Länge n (aus jeder Zeile ein Element). Daher ist jeder Summand der Determinate ein Produkt aus n Adjunkten, von denen jede durch det A teilbar ist und daher ist die Determinate der Adjunktenmatrix eben durch (det A)^n teilbar. Die Inverse hat die Determinante 1/det A. Die Inverse hat die Gestalt 1/detA * (Aij), ferner gilt det (k*B) = k^n * det B. Also gilt det (1/detA * (Aij))=1/(detA)^n *det (Aij) = 1/detA und schließlich det (Aij) =(detA)^n-1 Alles etwas wirr, aber Du entwirrst das schon. |
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Vielen Dank!! :-) |
