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Beweis induktive Menge

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: Induktion, induktive Menge

anonymous

20:24 Uhr, 21.10.2016

Hallo Mathematiker ;-)

Ich hätte da ein Beispiel aus Übung 3 in Analysis wo mir der Lösungsansatz fehlt.

Sei

M \subset ℝ

eine induktive Menge. Zeigen Sie :
(a) Die Menge

M_{1} := M ∖ {x \in ℝ : x < 1}

ist ebenfalls induktiv
(b) Die Menge

M_{2} := M_{1} ∖ (1, 2)

ist ebenfalls induktiv
(c) Für ein beliebiges n

\in ℕ

gilt:

M \cap (n, n + 1) = \emptyset \Rightarrow M ∖ (n + 1, n + 2)

ist induktiv Was folg aus (a), (b), (c) unmittelbar für die natürlichen Zahlen? Zeigen Sie weiters: Zwischen zwei natürlichen Zahlen n und n + 1 gibt es keine weitere natürliche Zahl.
Induktionsaussage E(n) genau definieren.

\noindent Also mein Ansatz für (a) wäre:

Da

1 \in ℝ

, gilt

\forall a \in ℝ : a \geq 1 \in M

Weil aber

a \in ℝ \Rightarrow a + 1 \in ℝ

Kann ich das einfach so machen?

(b) würde ich auf die selbe Weise lösen
Ich bitte jedoch um Hilfe für den Rest des Beispiels, da ich keinen Ansatz habe.

tobit aktiv_icon

01:37 Uhr, 22.10.2016

Hallo uli28!

Ich erkenne keinen Zusammenhang zwischen deinem Versuch der Lösung von a) und der Aufgabenstellung; es kommt ja nicht einmal die Menge

M_{1}

in deinem Versuch vor, von der hier laut Aufgabenstellung etwas gezeigt werden soll... :-(

(Außerdem schreibst du, dass für alle reellen Zahlen

a

die Ungleichung

a \geq 1

gelte. Siehst du selbst, wie absurd falsch das ist?)

Gegeben ist eine induktive Menge

M \subseteq ℝ

.
Was bedeutet es für eine Menge

M \subseteq ℝ

, induktiv zu sein?
Schlage also zunächst in deinen Unterlagen die Definition von induktiv nach und poste sie bitte hier.

Dann wird bei a) aus der Menge M eine Menge

M_{1}

gebastelt.
Von dieser Menge

M_{1}

soll gezeigt werden, dass sie auch induktiv ist.
Was bedeutet "

M_{1}

ist induktiv" nach Definition einer induktiven Menge?

Viele Grüße
Tobias

anonymous

12:06 Uhr, 22.10.2016

Hallo Tobi,

danke für die Antwort. :-)

Also mal zur Definition einer induktiven Menge:

M \ s u b s e t \ m a t h b b {R}

ist induktiv, wenn:

1 \ i n M

\ f o r a l l a \ i n M \ R i g h t a r r o w a + 1 \ i n M

Mein Ansatz war:
Da in (a) ja die Differenzenmenge von M mit allen

x \ i n \ m a t h b b {R} : x < 1

gebildet wird, bleiben ja nur Elemente

\ g e

1 übrig.

tobit aktiv_icon

12:31 Uhr, 22.10.2016

Ja, alle Elemente

x \in M_{1}

erfüllen insbesondere

x \geq 1

.
(Daraus folgt natürlich noch lange nicht, dass

M_{1}

induktiv ist.)

Wir haben also (gemäß der von dir korrekt wiedergegebenen Definition von "

M

induktiv") in der Situation der Aufgabe:

1 \in M

und für alle

a \in M

ist auch

a + 1 \in M

.

Zu zeigen ist nun, dass

M_{1}

induktiv ist, also dass
1.

1 \in M_{1}

gilt und
2. für alle

a \in M_{1}

auch

a + 1 \in M_{1}

gilt.

Du müsstest nun also getrennt nacheinander 1. und 2. begründen.

Zu 1.:
Nach Definition von

M_{1}

(bzw. nach Definition der Differenzmenge) ist zu zeigen:

1 \in M

und

1 \notin {x \in ℝ : x < 1}

. Gib für beides je ein Argument an.

Zu 2.:
Sei

a \in M_{1}

beliebig vorgegeben (also

a \in M

und

a \notin {x \in ℝ : x < 1}

).
Wir müssen nun

a + 1 \in M_{1}

zeigen.

Ähnlich wie bei 1. ist dazu zu überlegen:

a + 1 \in M

und

a + 1 \notin {x \in ℝ : x < 1}

.
Gib für beides je ein Argument an.

anonymous

13:37 Uhr, 22.10.2016

Herzlichen Dank :-) Das mit den Beweisen muss ich wirklich noch üben.

Also komme ich zu folgendem:

Da M1 induktiv, gilt es zu zeigen:
a)

1 \in M_{1}

\forall a \in M 1 \Rightarrow a + 1 \in M_{1}

Beweis zu a:
Laut Definition Differenzmenge:

1 \in M \land 1 \notin {x \in ℝ : x < 1}

Na gut, 1

\in

M gilt laut Definition von M, da es sich um eine induktive Menge handelt.

Widerspruchsbeweis zum zweiten Teil der Und-Verknüpfung:
Wäre

1 \in {x \in ℝ : x < 1

, würde gelten:

1 < 1

\Rightarrow W i d e r s p r u c h

Aussage a) richtig

Beweis zu b): Sei beliebiges a

\in M_{1} \Rightarrow a \in M \land a \notin {x \in ℝ : x < 1}

Dies nehme ich als wahr an.

E(n+1):

a + 1 \in M \land a + 1 \notin {x \in ℝ : x < 1}

Laut Definition von M gilt:

a + 1 \in M

Wäre jedoch

a + 1 \in {x \in ℝ : x < 1}

würde gelten:

a + 1 < 1 \Rightarrow a < 0

WIDERSPRUCH zum 2.Teil der UND-Verknüpfung

a \notin {x \in ℝ : x < 1}

Aussage b) richtig

anonymous

13:37 Uhr, 22.10.2016

Herzlichen Dank :-) Das mit den Beweisen muss ich wirklich noch üben.

Also komme ich zu folgendem:

Da M1 induktiv, gilt es zu zeigen:
a)

1 \in M_{1}

\forall a \in M 1 \Rightarrow a + 1 \in M_{1}

Beweis zu a:
Laut Definition Differenzmenge:

1 \in M \land 1 \notin {x \in ℝ : x < 1}

Na gut, 1

\in

M gilt laut Definition von M, da es sich um eine induktive Menge handelt.

Widerspruchsbeweis zum zweiten Teil der Und-Verknüpfung:
Wäre

1 \in {x \in ℝ : x < 1

, würde gelten:

1 < 1

\Rightarrow W i d e r s p r u c h

Aussage a) richtig

Beweis zu b): Sei beliebiges a

\in M_{1} \Rightarrow a \in M \land a \notin {x \in ℝ : x < 1}

Dies nehme ich als wahr an.

E(n+1):

a + 1 \in M \land a + 1 \notin {x \in ℝ : x < 1}

Laut Definition von M gilt:

a + 1 \in M

Wäre jedoch

a + 1 \in {x \in ℝ : x < 1}

würde gelten:

a + 1 < 1 \Rightarrow a < 0

WIDERSPRUCH zum 2.Teil der UND-Verknüpfung

a \notin {x \in ℝ : x < 1}

Aussage b) richtig

tobit aktiv_icon

20:47 Uhr, 22.10.2016

> Beweis zu a:
> Laut Definition Differenzmenge:
... ist zu zeigen: ...

> 1∈M&and;1∉{x∈ℝ:x<1}
> Na gut, 1 ∈ M gilt laut Definition von M, da es sich um eine induktive Menge handelt.
Genau.

> Widerspruchsbeweis zum zweiten Teil der Und-Verknüpfung:
> Wäre 1∈{x∈ℝ:x<1, würde gelten: 1<1 →Widerspruch
> Aussage a) richtig
Sehr schön! :-)

> Beweis zu b): Sei beliebiges a ∈M1→a∈M&and;a∉{x∈ℝ:x<1} Dies nehme ich als wahr an.
Genau. Dies nimmst du nicht nur als wahr an, sondern diese Folgerung GILT.

> E(n+1): a+1∈M&and;a+1∉{x∈ℝ:x<1}
Ersetze E(n+1) durch "Zu zeigen:".

> Laut Definition von M gilt: a+1∈M
Nicht nach Definition von M, sondern weil M induktiv ist.

> Wäre jedoch a+1∈{x∈ℝ:x<1} würde gelten: a+1<1→a<0
> WIDERSPRUCH zum 2.Teil der UND-Verknüpfung a∉{x∈ℝ:x<1}
Sehr schön! :-)

> Aussage b) richtig
Ja genau.

Respekt, du hast die größte "Leistungssteigerung" zwischen deinen beiden Versuchen vollbracht, die ich seit Langem erlebt habe! :-)

anonymous

12:10 Uhr, 23.10.2016

Vielen Dank für die Hilfe :-)

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