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Beweis isolierte Knoten/zusammenhängender Graph

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Graphentheorie

Tags: Graphentheorie

 
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10:25 Uhr, 26.12.2012

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HiHo,
frohe Weihnachten und so Quatsch erstmal.

Es geht hier darum zu beweisen, dass ein einfacher Graph mit einem isolierten Knoten als Komplementgraph zusammenhängend ist. Eigentlich geht die Aussage ja aus der Definition von Komplementgraph hervor, da der Komplementgraph alle Kanten zwischen Knoten enthält die im Graphen nicht vorhanden waren und somit jeder Knoten der Menge V mit dem im Graphen isolierten Knoten verbunden sein muss allerdings denke ich, sollte ich dies nun irgendwie mit tollen mathematischen Notationen beweisen.
Dazu habe ich die Zeile gegeben:
G=(V,E)
G‾=(V,E‾)
E‾={{v,vʹ}∣v,vʹ∈V,{v,vʹ}∉E};
Ja die sagt halt, dass zwei Knoten in G mit einem Kanten verbunden sind also Elemente der Menge E und in dem Komplementgraphen nicht mehr verbunden sind also kein Teil der Menge E‾

Als zweites soll ich dann zeigen, dass wenn G nicht zusammenhängend, ist G‾ zusammenhängend.
Dort würde ich einfach sagen:
V=(V1∨V2)=(V1∨V2)\(V1∧V2)⇒E=(E1∨E2)=(E1∨E2)\(E1∧E2)⇒G=G1∨G2:
Daraus folgt, dass alle Knoten der Menge V_1 im Komplementgraphen Kanten mit allen Knoten der Menge V_2 haben. Somit muss der Komplementgraph zusammenhängend sein.

Stimmt dies so? Wenn nicht wodrauf muss ich achten? Wie an welchen Stellen sollte ich etwas ergänzen? Sollte ich vllt. komplett anders rangehen?

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