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Beweis lineare Abbildung (über Polynomring)

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Lineare Abbildungen

Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Körper, Linear Abbildung, polynom, Ring, Vektorraum

boehmerjoe aktiv_icon

16:16 Uhr, 19.10.2016

Guten Tag, folgende Aufgabestellung:

Es seien

n \geq 1

eine ganze Zahl,

R = ℂ [X]

der Polynomring in einer Variable über den komplexen Zahlen und

V \subseteq R

die Teilmenge aller Polynome vom Grad kleiner gleich

n

.

Zeigen Sie, dass

d : V \to V, \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i} \mapsto \sum_{i = 1}^{n} i a_{i} X^{i - 1}

eine lineare Abbildung ist.

Die Kriterien linearer Abbildungen sind mir klar, jedoch habe ich keine Ahnung, wie ich sie hier anwende.
Vielen Dank im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Raummessung

michaL aktiv_icon

17:20 Uhr, 19.10.2016

Hallo,

> Die Kriterien linearer Abbildungen sind mir klar, jedoch habe ich keine Ahnung, wie ich sie hier anwende.

Ich denke, die meisten derer im Forum, die das lösen können, würden diese Aussage für einen Widerspruch in sich sehen.

Beginnen wir:
Notiere hier eure Definition von linearer Abbildung.

Mfg Michael

boehmerjoe aktiv_icon

17:34 Uhr, 19.10.2016

d

ist linear

\Leftrightarrow \forall v_{1}, v_{2} \in V : d (v_{1} + v_{2}) = d (v_{1}) + d (v_{2}) \land \forall v \in V

und

\forall λ \in ℂ : d (λ v) = λ d (v)

ermanus aktiv_icon

17:54 Uhr, 19.10.2016

Hallo,
wie sieht denn nun bei Dir so ein

v_{1}

und

v_{2}

aus, und wie sieht denn dann

d (v_{1} + v_{2})

aus? Und wie sieht denn dann bei Dir die Summe

d (v_{1}) + d (v_{2})

aus?
Und warum ist das dann beidesmal dasselbe?

boehmerjoe aktiv_icon

18:32 Uhr, 19.10.2016

Hallo,
das genau ist mein Problem. 1. bin ich mir unsicher schon bei

v_{1}, v_{2}

. Ich behaupte einfach mal:

v_{1} = \sum_{i = 0}^{r} a_{i} X^{i}

v_{2} = \sum_{i = 0}^{s} b_{i} X^{i}

2. weiß ich nicht im entferntesten, wie man das dann in die Funktion einsetzt

d (v_{1} + v_{2}) = . .

ermanus aktiv_icon

18:37 Uhr, 19.10.2016

Nun zunächst einmal vereinfachen wir die Sache dahingehend, dass wir beide Summen bis

n

laufen lassen, wir können ja nichtbenutzte Koeffizienten = 0 setzen.
Damit können wir doch

v_{1} + v_{2}

schon mal als eine einzige Summe schreiben
(Distributivgesetz, Kommutativgesetz etc.): ...

boehmerjoe aktiv_icon

18:44 Uhr, 19.10.2016

v_{1} + v_{2} = a_{0} X^{0} + a_{1} X^{1} + ... + a_{r} X^{r} + b_{0} X^{0} + b_{1} X^{1} + ... + b_{s} X^{s}

Inwiefern kann ich Kommutativ-/Distributivgesetze nun anwenden?

ermanus aktiv_icon

18:51 Uhr, 19.10.2016

Nach Potenzen zusammenfassen. Und bitte

r = s = n

setzen.

boehmerjoe aktiv_icon

18:57 Uhr, 19.10.2016

setze

s = r = n

... = (a_{0} + b_{0}) X^{0} + (a_{1} + b_{1}) X^{1} + ... + (a_{n} + b_{n}) X^{n}

ermanus aktiv_icon

19:15 Uhr, 19.10.2016

Genau.
Bis jetzt hast Du also folgenden Anfang eines Beweises:
Seien

v_{1}, v_{2} \in V

, etwa

v_{1} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i}, v_{2} = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} X^{i}

.
Dann gilt

d (v_{1} + v_{2}) = d (\sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i} + \sum_{i = 0}^{n} b_{i} X^{i}) =

d (\sum_{i = 0}^{n} (a_{i} + b_{i}) X^{i}) =

???

boehmerjoe aktiv_icon

19:37 Uhr, 19.10.2016

Damit sollte das erste Kriterium bewiesen sein

d (\sum_{i = 0}^{n} (a_{i} + b_{i}) X^{i}) = \sum_{i = 1}^{n} i (a_{i} + b_{i}) X^{i - 1}

Dann

d (v_{1}) + d (v_{2}) = d (\sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i}) + d (\sum_{i = 0}^{n} b_{i} X^{i}) = \sum_{i = 1}^{n} i a_{i} X^{i - 1} + \sum_{i = 1}^{n} i b_{i} X^{i - 1} = 1 a_{1} X^{0} + ... + n a_{n} X^{n - 1} + 1 b_{1} X^{0} + ... + n b_{n} X^{n - 1} = 1 (a_{1} + b_{1}) X^{0} + ... + n (a_{n} + b_{n}) X^{n - 1} = \sum_{i = 1}^{n} i (a_{i} + b_{i}) X^{i - 1}

Somit

d (v_{1} + v_{2}) = d (v_{1}) + d (v_{2})

Soweit so gut?

ermanus aktiv_icon

19:39 Uhr, 19.10.2016

Kannst Du bitte Deine Formel umbrechen, die passt bei mir nicht mehr in der Breite.

boehmerjoe aktiv_icon

19:41 Uhr, 19.10.2016

Ich hab's mir schon fast gedacht. Gut, dass ich's vorher kopiert habe.

"Damit sollte das erste Kriterium bewiesen sein

d (\sum_{i = 0}^{n} (a_{i} + b_{i}) X^{i}) = \sum_{i = 1}^{n} i (a_{i} + b_{i}) X^{i - 1}

Dann

d (v_{1}) + d (v_{2}) = d (\sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i}) + d (\sum_{i = 0}^{n} b_{i} X^{i})

= \sum_{i = 1}^{n} i a_{i} X^{i - 1} + \sum_{i = 1}^{n} i b_{i} X^{i - 1} = 1 a_{1} X^{0} + ... + n a_{n} X^{n - 1} + 1 b_{1} X^{0} + ... + n b_{n} X^{n - 1}

= 1 (a_{1} + b_{1}) X^{0} + ... + n (a_{n} + b_{n}) X^{n - 1} = \sum_{i = 1}^{n} i (a_{i} + b_{i}) X^{i - 1}

Somit

d (v_{1} + v_{2}) = d (v_{1}) + d (v_{2})

Soweit so gut?"

ermanus aktiv_icon

19:44 Uhr, 19.10.2016

Ja, Kriterium 1 hast Du bezwungen.
Nun kommt noch die Sache mit dem

λ

boehmerjoe aktiv_icon

19:53 Uhr, 19.10.2016

Habe ich es mir jetzt hier zu einfach gemacht, wenn ich sage:

d (λ v) = d (λ \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i}) = λ \sum_{i = 1}^{n} i a_{i} X^{i - 1}

und

λ d (v) = λ d (\sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i}) = λ \sum_{i = 1}^{n} i a_{i} X^{i - 1}

ermanus aktiv_icon

20:03 Uhr, 19.10.2016

Ich denke, das müsste Du ein wenig ausführlicher schreiben.
(Nebenbei: eigentlich ist es natürlich trivial.)

Vielleicht so:

d (λ \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i}) = d (\sum_{i = 0}^{n} λ a_{i} X^{i}) =

\sum_{i = 1}^{n} i λ a_{i} X^{i - 1} = λ \sum_{i = 1}^{n} i a_{i} X^{i - 1} =

λ d (\sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i})

.

Ansonsten bist Du durch!
Gruß ermanus

boehmerjoe aktiv_icon

20:07 Uhr, 19.10.2016

Wirklich vielen lieben Dank für die Hilfe!
Hast du vielleicht noch einen Tipp, wie man herangehen würde, um zu

d

bezüglich einer bel. Basis von

V

eine Darstellungsmatrix aufzustellen?
Wüsste aus dem Standpunkt heraus, nur wie das funktioniert, wenn man schon eine Matrix hat mit 2 Basen (bspw. Standardbasis und "neue").

Falls du schon weg bist,
Mfg boehmerjoe

Edit: Eine einfache Basis wäre ja BV=

{

1,X^1,...,X^n}, wobei

n

der höchsten Grad der Polynome ist

tobit aktiv_icon

09:10 Uhr, 20.10.2016

Hallo boehmerjoe!

Die Matrix zu d bezüglich der Basis

B := {X^{0}, X^{1}, \dots, X^{n}}

kannst du wie üblich ermitteln:

Bestimme

d (X^{0})

d (X^{1})

, ... ,

d (X^{n})

.

Lies dann

d (X^{0})_{B}

d (X^{1})_{B}

, ... ,

d (X^{n})_{B}

ab, wobei ich für Polynome

v \in V

mit

v_{B}

den Spaltenvektor der Koordinaten von v bezüglich B meine, also den Spaltenvektor

(\begin{array}{rcl} a_{0} \\ a_{1} \\ . \\ . \\ . \\ a_{n} \end{array}) \in ℂ^{n + 1}

mit

v = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i}

.

Die gesuchte Matrix ist dann die Matrix

(d (X^{0})_{B} d (X^{1})_{B} \dots d (X^{n})_{B})

.

Viele Grüße
Tobias

boehmerjoe aktiv_icon

12:01 Uhr, 20.10.2016

Hallo tobit!

ich war noch so weit gekommen:

d (1) = 1 a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ... + n a_{n}

d (X^{1}) = 1 a_{1} + 2 a_{2} X + 3 a_{3} X^{2} + ... + n a_{n} X^{n - 1}

d (X^{2}) = 1 a_{1} + 2 a_{2} X^{2} + 3 a_{3} X^{4} + ... + n a_{n} X^{2 n - 2}

d (X^{3}) = 1 a_{1} + 2 a_{2} X^{3} + 3 a_{3} X^{6} + ... + n a_{n} X^{3 n - 3}

. .

d (X^{n}) = 1 a_{1} + 2 a_{2} X^{1 n} + 3 a_{3} X^{2 n} + ... + n a_{n} X^{n n - n}

Nur steh ich jetzt etwas auf dem Schlauch und weiß nicht wie ich dann

d {(X^{i})}_{B}, i \in {0, ..., n}

ablese.

pwmeyer aktiv_icon

12:55 Uhr, 20.10.2016

Hallo,

vielleicht denkst Du noch einmal über die Definition von

d

nach, bis tobit wieder da ist.

Gruß pwm

tobit aktiv_icon

15:19 Uhr, 20.10.2016

@boehmerjoe: Dein Versuch kann schon deshalb nicht stimmen, weil da Polynome vom Grade >n als Ergebnisse auftauchen. d bildet jedoch nach V ab, liefert also ausschließlich Polynome vom Grade

\leq n

. Und was sollen

a_{1}, \dots, a_{n}

sein?

Ich sehe es wie pwmeyer: Es gilt, zunächst die Abbildungsvorschrift für d zu verstehen.

Ich habe darüber hinaus den Eindruck, dass der Vektorraum V noch nicht richtig verstanden wurde. Daher mal ein paar Verständnisfragen:
(i) Wie sehen die Vektoren des Vektorraumes V aus?
(ii) Gilt

\sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i} \in V

für alle

a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n} \in ℂ

?
(iii) Lässt sich jeder Vektor

v \in V

in der Form

v = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i}

für gewisse komplexe Zahlen

a_{0}, a_{1} \dots, a_{n} \in ℂ

schreiben?
(iv) Wenn sich ein Vektor

v \in V

sich in dieser Form schreiben lässt, sind dann

a_{0}, a_{1} \dots, a_{n}

eindeutig durch v bestimmt?
(v) Nehmen wir mal

n = 5

an. Gilt dann

X^{4} \in V

? Gilt

X^{6} \in V

? Lassen sich

X^{4}

bzw.

X^{6}

in der Form

\sum_{i = 0}^{5} a_{i} X^{i}

für gewisse

a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n} \in ℂ

schreiben? Wenn ja: Wie?

Solange diese Fragen nicht klar sind, ist es aus meiner Sicht kaum möglich, die Definition von d richtig zu verstehen und die gesuchte Matrix zu bestimmen.

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