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Beweis linksinverses Element -> rechtsinv. Element

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Algebra, Gruppen

JosefS aktiv_icon

08:57 Uhr, 08.10.2023

Hallo,

bin neu in der Welt der mathematischen Beweisführung.

Die Datei "meinLösungsansatz.png" enthält die Aufgabenstellung inkl. meines Lösungsansatzes.
Das ist schnell gelesen.

Ist mein Lösungsansatz korrekt? Würde das in einer Klausur Punkte geben?

Vergleicht man meinen Lösungsansatz mit der Musterlösung, verstehe ich nicht, wieso die Musterlösung so ausführlich/kompliziert ist.

Bitte um Überprüfen.
Bin um jede Hilfe dankbar.

Mit freundlichen Grüßen
Joe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

09:50 Uhr, 08.10.2023

Hallo,

es ist fraglich, was denn nun vorausgesetzt werden darf.

Für mich sieht es so aus, als hättet ihr eine Gruppe mit Hilfe der starken Axiomatik definiert:

(G, \cdot)

Gruppe genau dann,
wenn "

\cdot

" assoziativ und
ein eindeutiges neutrales Element

e \in G

existiert, sodass

a \cdot e = e \cdot a = a \forall a \in G

und
zu jedem

a \in G

ein eindeutiges

b \in G

gibt, sodass

a \cdot b = b \cdot a = e

gilt.

Nun gibt es aber auch eine deutlich schwächere Version der Gruppendefinition (etwa linksseitig):

(G, \cdot)

Gruppe genau dann,
wenn "

\cdot

" assoziativ und
ein linksneutrales Element

e \in G

existiert, sodass

e \cdot a = a \forall a \in G

und
zu jedem

a \in G

ein eindeutiges (linksinverses)

b \in G

gibt, sodass

b \cdot a = e

gilt.

Beachte, dass in dieser Version stets nur die linke Seite auftritt. Zudem fehlen die Eindeutigkeitsaussagen.
Und genau darauf will ich hinaus. Du verwendest

\tilde{\tilde{a}} = a

.
Könnte sein, dass dies der Eindeutigkeitssaussage für das Element

\tilde{a} \in G

entnommen wurde. Könnte sein, dass dies in dem unteren Setting aber nicht gegeben ist.

Falls doch, ist dein Beweis ok. Falls nicht, eben nicht.

Mfg Michael

JosefS aktiv_icon

11:00 Uhr, 08.10.2023

Hallo Michael,

wieso wird ein Eindeutigkeitsnachweis benötigt, um

\tilde{\tilde{a}} = a

zu verwenden?

Die Gruppe wurde mit der "schwächeren" (linksseitigen) Gruppendefinition definiert.

Gruß
Josef

michaL aktiv_icon

11:21 Uhr, 08.10.2023

Hallo,

dann erläutere mir bitte, wie aus

\tilde{a} \cdot a = e

und

\tilde{\tilde{a}} \cdot \tilde{a} = e

die Gleichung

\tilde{\tilde{a}} = a

folgt.

Schließlich schreibst du (!) ja in einem deiner Anhänge:
> Da

\tilde{\tilde{a}} = a

folgt: [...]

Mfg Michael

HJKweseleit aktiv_icon

19:56 Uhr, 08.10.2023

Nehmen wir mal die Division als Verknüpfung (nein, keine Gruppe, nur ein Beispiel).

a:1=a, aber 1:a

\neq

a, falls a nicht 1 oder -1 ist.

1 ist rechts-, aber nicht linksinvers.

-----------------------------------

Mach so:

e = \tilde{\tilde{a}} \cdot \tilde{a} = \tilde{\tilde{a}} \cdot e \tilde{a} = \tilde{\tilde{a}} \cdot (\tilde{a} a) \tilde{a} = (\tilde{\tilde{a}} \tilde{a}) a \tilde{a} = e \cdot a \tilde{a} = (e a) \tilde{a} = a \tilde{a}

, also

e = a \tilde{a}

Hier wird e immer als linksinvers betrachtet, auch die Inversen sind immer linksinvers.
jetzt sieht man aber, dass

\tilde{a}

auch rechtsinvers ist, und daher kannst du nun deinen Beweis nachtragen.

---------------------

Zusatz: Warum klappt das denn bei der Division nicht?

Es wurde assoziativ umgeklammert, und das gilt nicht für die Division:

12:(6:2)=12:3=4, aber
(12:6):2=2:2=1.

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