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Beweis lokaler Umkehrsatz
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Tags: Differentiation, lokaler Umkehrsatz
 
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Liebe Leute Es geht um den Beweis des lokalen Umkehrsatzes. Ich habe den Beweis, der in meinem Lehrbuch ("Grundwissen Mathematikstudium") aufgeführt ist, an den meisten Stellen nachvollzogen. Aber an zwei Stellen beisse ich mir nun die Zähne aus. Ich habe in den untenstehenden Bildern Bildschirmfotos von dem Beweis gemacht. Der Beweis ist recht umfangreich, ich dachte trotzdem, dass es wichtig ist, auf den ganzen Kontext hinzuweisen. Insgesamt sind es drei Seiten. Dort wo die blauen Striche auf der ersten Seite sind, wird der Umkehrsatz formuliert und anschliessend wird der Beweis in sieben durchnummerierten Schritten geführt. Meine Fragen beziehen sich nur auf die letzte Seite. 1. Am Ende von Schritt 5 wird die Differenzierbarkeit der Funktion bewiesen. Hierbei wird darauf zurückgegriffen, dass in einer kleinen Umgebung von die Jacobi-Matrix invertierbar sei (siehe rot markierte Zeilen). Dies verstehe ich nicht, denn in der Voraussetzung ist die Jakobi-Matrix ja nur in einem einzigen Punkt bzw. invertierbar. Warum kann man daraus schliessen, dass die Matrix dann auch in einer Umgebung dieses Punktes invertierbar ist? 2. Am Ende des Beweises werden im 7. und letzten Schritt die Anfangsannahmen wieder rückgängig gemacht. Es wird behauptet, dass die Jacobi-Matrix der Funktion "f Tilde" im Punkt 0 gleich der Einheitsmatrix ist (siehe rot markierte Stelle). Ich habe versucht, dies mit der Kettenregel nachzuvollziehen, aber es ist mir nicht gelungen. Kann mir hier jemand weiterhelfen? Vielen Dank und Gruss!    Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, 1. Grundsätzlich gilt: Wenn A eine reguläre Matrix ist und eine Matrix mit hinreichend kleiner Norm, dann ist auch regulär. In Deinem Zusammenhang kannst Du auch so argumentieren: Det ist eine stetige Funktion von . Wenn also Det (oder in einem Punkt ist, dann gilt das aufgrund der Stetigkeit von Det auch für Punkte in einer Umgebung von . 2. Ich denke, da liegt ein Druckfehler vor, es sollte wohl heißen . Dann folgt die Behauptung direkt aus der Kettenregel. Gruß pwm |
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Hallo pwmeyer! Vielen Dank für Deine rasche Antwort. Das hilft mir wirklich sehr! Zu Das ist für mich absolut plausibel. Ich hatte schon gedacht, dass es etwas mit der Stetigkeit zu tun haben muss, da die Abbildung ja als stetig differenzierbar vorausgesetzt wird. Ich hatte aber nicht die Verbindung zur Determinante und zum klassischen InvertIerbarkeitskriterium ("ungleich Null") hergestellt. Zu Könntest Du, falls es Deine Zeit erlaubt, den Ausdruck, der sich hier konkret aus der Kettenregel ergibt, kurz notieren? Irgendetwas mache ich da falsch. Ich hatte ebenso wie Du bereits vermutet, dass nicht f-Tilde sondern gemeint ist, aber ich erhalte bei meinen Rechnungen trotzdem leider nicht die Einheitsmatrix. Merci und Gruss Jonas |
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