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Beweis mit Epsilon Delta Kriterium

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

 
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sopch

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23:20 Uhr, 27.05.2018

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Hi,

ich sitze an folgender Aufgabe

f,g:D→ℝ sind zwei Funktionen die an der Stelle a∈D stetig sind.

Beweisen möchte ich folgendes:

λ⋅f:D→ℝ, mit x↦λ⋅f(x),λ∈ℝ ist auch an Stelle a stetig.

Mein Ansatz:

Da f stetig ist bei a, gibt es ein δ>0, sodass ∀x∈D:|x-a|<δ die Ungleichung |f(x)-f(a)|<ε erfüllt ist.

Dann muss λ⋅f auch bei a stetig sein, sodass ∀x∈D:|x-a|<δ die Ungleichung |(λ⋅f)(x)-(λ⋅f)(a)|<ε erfüllt

Da

|(λ⋅f)(x)-(λ⋅f)(a)|
⇔|λ⋅f(x)-λ⋅f(a)|
⇔|λ⋅(f(x)-f(a)|
≤|λ⋅ε|

Geht das so?

Liebe Grüße
sopch


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
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michaL

michaL aktiv_icon

07:32 Uhr, 28.05.2018

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Hallo,

der wesentliche Teil ist darin enthalten. Vollständig ist es jedoch nicht.

Um Stetigkeit mit der ε-δ-Methode zu beweisen, musst du zu einem gegebenem ε ein passendes δ liefern (mit entsprechenden Eigenschaften).

Sei also ε>0 vorgegeben. Wir versuchen nun davon abhängig ein δ>0 anzugeben, sodass für alle ∣x-a∣<δ die Ungleichung ∣λf(x)-λf(a)∣<ε gültig ist.

Wir speisen mal εʹ:=ε∣λ∣>0 ins Stetigkeitssystem von f ein und erhalten so ein δʹ>0 mit der Eigenschaft: ∣x-a∣<δʹ⇒∣f(x)-f(a)∣<εʹ, da f stetig in a ist.

Damit folgt aber auch aus ∣x-a∣<δʹ, dass ∣λf(x)-λf(a)∣=∣λ∣⋅∣f(x)-f(a)∣<∣λ∣⋅ε∣λ∣=ε gilt, d.h. wir haben zu einem beliebigen ε>0 ein δ>0 gefunden, nämlich δ:=δʹ.

Dabei fällt auf, dass diese Methode bei λ=0 versagt, da man nicht durch Null teilen darf. Der Fall muss also gesondert betrachtet werden (bedenke, dass die Funktion dann konstant ist, was aber begründet werden muss).

Aber noch einmal: der wesentliche Teil steckt in der Möglichkeit, λ aus dem Betrag auszuklammern.

Mfg Michael
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