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Beweis mit Induktion

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Induktion, Induktion Rechenschritt

KarlKasten aktiv_icon

17:41 Uhr, 13.01.2020

Hallo, ich habe Schwierigkeiten mit folgender Aufgabe:
"Beweisen sie mit Induktion, dass für alle

n \geq 1

gilt:

3^{n} \leq \frac{(3 n)!}{n! \cdot (3 n - n)!}

(also

3^{n} \leq (n

über

k)

als Binomialkoeffizient mit

n = 3 n

und

k = n)

Der Induktionsanfang mit

n = 1

hat auch noch ganz gut geklappt

(3 \leq 3)

aber ich komme beim Induktionschritt nicht weiter.
Ich habe

n + 1

eingesetzt

3^{n + 1} \leq \frac{(3 (n + 1))!}{(n + 1)! \cdot (3 (n + 1) - (n + 1))!}

und versucht umzuformen und zu kürzen, allerdings habe ich bis jetzt
noch nichts heraus bekommen, was mir halbwegs weiter hilft.

Ich wäre also sehr dankbar für einen Tipp oder einen Rechenschritt,
der mich in die richtige Richtung bringt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

19:10 Uhr, 13.01.2020

Hallo,

bei den beiden Binomialkoeffizienten kannst du doch den im Fall mit n+1 durch den im Fall n teilen. Siehe Grafik.

Herauskommen sollte

3 \cdot \frac{(3 n + 1) (3 n + 2)}{2 (n + 1) (2 n + 1)}

So ist z.B.

\frac{(2 n)!}{(2 n + 2)!} = \frac{(2 n)!}{(2 n)! \cdot (2 n + 1) \cdot (2 n + 2)} = \frac{1}{(2 n + 1) \cdot (2 n + 2)} = \frac{1}{2 \cdot (2 n + 1) \cdot (n + 1)}

Gruß

pivot

MSP15321gc987f251h37eee00004cb627h7cc5di5ia

HAL9000

11:59 Uhr, 14.01.2020

Anmerkung zur tatsächlichen ungefähren Größenordnung dieses Terms: Man kann (z.B. mit der Stirlingformel) die für

n > 1

wesentlich anspruchsvollere Ungleichung

(\binom{3 n}{n}) = \frac{(3 n)!}{(2 n)! n!} \geq \sqrt{\frac{3}{π (4 n + 1)}} \cdot 6.7 5^{n}

nachweisen.

KarlKasten aktiv_icon

15:53 Uhr, 15.01.2020

Zuerst vielen Dank für die Antwort, die hat mir bereits sehr geholfen.
Ich habe deinen Rat befolgt und konnte die Ungleichung schonmal wesentlich weiter kürzen, bis ich

3^{n} \cdot 3 \leq (\begin{matrix} 3 n \\ n \end{matrix}) \cdot 3 \cdot \frac{(3 n + 2) (3 n + 1)}{(2 n + 2) (2 n + 1)}

hatte. An dieser Stelle müssten sich

3^{n}

und

(\begin{matrix} 3 n \\ n \end{matrix})

und die beiden Dreien ja schonmal rauskürzen lassen. Damit die erste Aussage stimmt, wäre ja die Voraussetzung, dass

\frac{(3 n + 2) (3 n + 1)}{(2 n + 2) (2 n + 1)} \geq 1

für alle

n \geq 1

ist.

Und eigentlich sieht man ja auch sofort, dass das stimmt und deshalb tut es mir auch Leid falls die folgende Frage etwas blöd klingt (oder auch ist), aber wie genau kann ich jetzt noch beweisen, dass die zweite Aussage stimmt?

ledum aktiv_icon

16:54 Uhr, 15.01.2020

Hallo
dass der Nenner kleiner als Zähler musst du wohl nicht mehr begründen, wenn du willst eben

3 n + 1 > 2 n + 1

denn

n > 0

Gruß ledum

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