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Beweis mit Kondition und orthogonaler Matrix

Universität / Fachhochschule

18:46 Uhr, 30.08.2018

Aufgabe:
Es sei

A, Q \in R^{n x n}

regulär und Q orthogonal. Beweisen Sie:

κ_{2} (Q A) = κ_{2} (A)

.

Meine Bearbeitung:

κ_{2} (A)

ist die Kondition der Matrix A.

κ_{2} (Q A) = κ_{2} (A)

Im Folgenden sei

∣ . ∣ = ∣ ∣ . ∣ ∣_{2}

die 2-Norm von Matrizen (Spektralnorm) und von Vektoren.
Mit Wikipedia „Kondition“ folgt:

∣ Q A ∣ * ∣ (Q A)^{- 1} ∣ = ∣ A ∣ * ∣ A^{- 1} ∣

Nebenrechnung 1:

∣ Q A ∣ = ∣ A ∣

Mit Wikipedia „Spektralnorm“ folgt:

m a x_{∣ x ∣ = 1} ∣ Q A x ∣ = m a x_{∣ x ∣ = 1} ∣ A x ∣

Dies ist korrekt, da |Qy| = |y|, siehe Wikipedia „orthogonale Matrix“.
(Substitution

A x = y

)

Nebenrechnung 2:

∣ (Q A)^{- 1} ∣ = ∣ A^{- 1} ∣

∣ A^{- 1} Q^{- 1} ∣ = ∣ A^{- 1} ∣

m a x_{∣ x ∣ = 1} ∣ A^{- 1} Q^{- 1} x ∣ = m a x_{∣ x ∣ = 1} ∣ A^{- 1} x ∣

Wie kann ich dies nachweisen??

11:15 Uhr, 31.08.2018

Hallo,

orthogonal bedeutet doch

Q^{T} \cdot Q = E,

also ist

Q^{- 1} = Q^{T},

also ist auch

Q^{- 1}

"normerhaltend" wie Q.

Gruß pwm

18:29 Uhr, 31.08.2018

Hallo pwm, vielen Dank für deinen Beitrag. Ich kam inzwischen auf folgende Lösung, siehe Scan.

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