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Beweis mit Landau Symbolen

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Tags: landau symbol, Sonstig

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17:01 Uhr, 19.11.2023

Hallo,

Ich habe die aufgabe zu zeigen oder zu widerlegen:

10^{- 1000} \cdot n^{1.01} = Θ (n)

.

Ich weiß, dass dies nicht gilt, weil mit wachsendem

n

die Funktion

n^{1.01}

schneller wächst als

n

.
Aber ich weis nicht genau wie ich dies zeigen soll.

Mein Ansatz:

10^{- 1000} \cdot n^{1.01} = Θ (n) \Leftrightarrow n = O (10^{- 1000} \cdot n^{1.01})

und

10^{- 1000} \cdot n^{1.01} = O (n)

weiter

10^{- 1000} \cdot n^{1.01} \leq c \cdot n

und

n \leq c \cdot 10^{- 1000} \cdot n^{1.01}

.

weiter komm ich leider nicht. Ich muss auch sagen ich habe das Thema noch nicht wirklich verstanden....

Weiterer Aufgaben Teil wäre:

b) n! = 2^{O (n)},

das heißt, es existiert

c > 0,

sodass

n! \leq

2^(cn)

c) n log (n) = o (n^{2})

Ich wäre dankbar, wenn ihr mir bei der Lösungsfindung helfen könntet.

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

20:08 Uhr, 19.11.2023

Zum einen sind deine beiden

c

i.a. verschiedene positive reelle Zahlen, die du also in ein- und derselben Zeile nicht mit dem selben Symbol

c

bezeichnen solltest. Zum anderen lässt du leider die immens wichtige notwendige Erklärung dazu weg:

1 0^{- 1000} \cdot n^{1.01} = O (n)

bedeutet, dass es ein

c > 0

sowie ein

n_{0}

gibt, so dass

1 0^{- 1000} \cdot n^{1.01} \leq c \cdot n

für alle

n \geq n_{0}

gilt. Formen wir die Ungleichung äquivalent um, um zu überprüfen, ob das stimmen kann:

n^{0.01} \leq 1 0^{1000} \cdot c

n \leq {(1 0^{1000} \cdot c)}^{100}

Egal wie man

c

wählt, das rechts ist dann eine positive Zahl als obere Schranke für

n

, d.h. für alle genügend großen

n

gilt die Ungleichung NICHT! Damit gilt diese Landau-Abschätzung nicht.

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