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Beweis mit Satz von Wilson

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis Kongruenz Satz von Wilson

Haseandreas aktiv_icon

16:32 Uhr, 09.12.2022

Liebes Matheforum, ich möchte Folgendes beweisen:
Sei p=2k+1 eine Primzahl mit k natürliche Zahl.
Zeige, dass (k!)^2 kongruent zu (-1)^(k+1) modulo p.
Setze ich p in den Satz von Wilson ein, erhalte ich -1 kongruent (2k)!
(2k)! kann ich als Produkt schreiben:
2k*(2k-1)*(2k-2)*...*3*2*1
2k ist kongruent zu -1 mod p
2k-1 ist kongruent zu -2 mod p usw.
ich muss also irgendwie meine Faktoren umgruppieren, so dass ich auf diese gesuchte Kongruenz komme. Und vermutlich weitere Kongruenzen finden.
Ich durchschaue es an diesem Punkt nicht weiter und freue mich sehr über Hilfe.
VG
Haseandreas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

17:07 Uhr, 09.12.2022

Hallo,

du hast doch schon alles, was du brauchst:

k - m = k - m + k + 1 - k - 1 = 2 k + 1 - (k + m + 1) \equiv - (k + m + 1)

mod

p = 2 k + 1

Damit:

(k!)^{2} = k! \cdot (\prod_{m = 0}^{k - 1} (k - m)) \equiv k! \cdot (\prod_{m = 0}^{k - 1} - (k + m + 1)) \overset{j = k + m + 1}{=} (- 1)^{k} \cdot k! \cdot (\prod_{j = k + 1}^{2 k} j) = (- 1)^{k} \cdot (2 k)!

Mfg Michael

Haseandreas aktiv_icon

17:11 Uhr, 09.12.2022

Oh, vielen Dank. Das muss ich erstmal durchschauen. Wie kommst du von dem, was ich mir hergeleitet habe, auf deine Herleitung? Wer ist m?
VG
Haseandreas

Haseandreas aktiv_icon

17:17 Uhr, 09.12.2022

noch eine Ergänzung zu meinem Beitrag eben:
ich muss zeigen: (k!)^2 kongruent zu (-1)^(k+1) modulo p, was ich am Ende deiner Kette nicht finde bzw. nicht erkenne. Wo liegt mein Denkfehler?

michaL aktiv_icon

17:30 Uhr, 09.12.2022

Hallo,

nun, du möchtest den Satz von Wilson anwenden. Da geht es um

(p - 1)!

.

Gegeben ist dir aber nur

(\frac{p - 1}{2})!

, das aber zum Quadrat.

Also geht es irgendwie darum, die Elemente jenseits "der Mitte" zu erhalten. Und da es nicht nur um ein solches Element geht, brauchen wir eine Laufvariable.
Du suchst die Elemente

k + n

für

n \in {1; 2; \dots; k}

, weil das dann die Elemente

k + 1

k + 2

\dots

k + k = 2 k = p - 1

ergäbe.

Betrachten wir also ein Element

k - m

(

m \in {0; \dots; k - 1}

) (also in umgekehrter Reihenfolge die Elemente

1

;

2

;

\dots

;

k

.
Addiere eine nahrhafte Null in Form von

k + 1

, so gilt:

k - m = k - m + (k + 1) - (k + 1) = 2 k + 1 - m - (k + m + 1) \equiv - (k + m + 1)

mod

p

Jedes Element "diesseits" der Mitte ist das additive Inverse eines Elementes "jenseits" der Mitte. (Und du hast recht, mir ist da ein "mod

p

" abhanden gekommen.)

Es gilt also:

k! = \prod_{m = 0}^{k - 1} (k - m) \equiv \prod_{m = 0}^{k - 1} - (k + m + 1) = (- 1)^{k} \prod_{m = 0}^{k - 1} (k + 1 + m)

mod

p

Nun noch eine Indexverschiebung:

j := k + 1 + m \overset{}{\Leftrightarrow} m = j - (k + 1)

Und schon bekommst du die "zweite Hälfte" von

(2 k)!

allerdings zum Preis des Faktors

(- 1)^{k}

.

Aber: Nun kannst du Wilson anwenden und landest dort, wo du sollst.

Mfg Michael

Haseandreas aktiv_icon

22:02 Uhr, 09.12.2022

Danke, ich versuche, es nachzuvollziehen und habe eine Zwischenfrage: Wie komme ich darauf, dass k-1 kongruent zu -k mod p ist?
VG
Haseandreas

michaL aktiv_icon

07:46 Uhr, 10.12.2022

Hallo,

k - m \overset{(1)}{=} k - m + (k + 1) - (k + 1) \overset{(2)}{=} k + (k + 1) - m - (k + 1) \overset{(3)}{=} 2 k + 1 - m - (k + 1) \overset{(4)}{=} 2 k + 1 - (m + k + 1)

Ist das soweit klar?

Daraus schließe ich, dass

k - m \equiv - (k + 1 + m)

mod

p = 2 k + 1

gilt.

Insbesondere sind kongruent:

k

und

- (k + 1)

k - 1

und

- (k + 2)

k - 2

und

- (k + 3)

usw

Vielleicht ist mir ein Fehler unterlaufen, aber wo behaupte ich denn, dass
> k-1 kongruent zu -k mod p
ist?

Mfg Michael

Haseandreas aktiv_icon

14:38 Uhr, 10.12.2022

Danke, ich habe alles verstanden und auch die Zwischenschritte der Beweisführung sehr gut herleiten können. Und vor allem dadurch Einiges Verstanden, was mir vorher noch nebulös war.
Herzliche Grüße
Haseandreas

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