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Beweis mit Zwischenwertsatz
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 16:05 Uhr, 31.05.2004  |
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Hi an alle! Wir haben gerade den Zwischenwertsatz demacht und sollen folgende Aufgabe lösen: Zeigen Sie: Ist f:[0,1] -> R stetig mit f(0) = f(1), so existiert ein c € [0,1] mit f(c) = f(c+1). Anschaulich ist die Aufgabe schon irgendwie klar, aber ich komme auf keinen Beweisansatz. Hat jemand eine Idee? Danke, Andi |
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Hallo Andi, ist das tatsächlich deine Aufgabe? > Zeigen Sie: Ist f:[0,1] -> R stetig mit f(0) = f(1), > so existiert ein c € [0,1] mit f(c) = f(c+1). Naja, dann ist deine Aufgabe trivial. Setze c:=0 ==> c € [0,1] ==> f(c)=f(c+1), weil nach Voraussetzung f(0)=f(1) gilt. Da bräuchtest du noch nicht einmal die Stetigkeit, geschweige denn den Zwischenwertsatz... Für c € (0,1) macht die Aufgabe gar keinen Sinn, weil dann c+1 nicht mehr zum Definitionsbereich von f gehört. Ist das vielleicht keine Aufgabe, sondern eine Fangfrage??? ;-) Viele Grüße Marcel |
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Danke für die schnelle Antwort, Marcel! Aber so wie ich die Aufgabe hingeschrieben habe, war es tatsächlich trivial :) sorry! Die richtige Aufgabe ist: ...so existiert ein c € (0,1) mit f(c) = f( c + 1/2 ). Da muss doch irgendein anderer Beweisansatz funktionieren... Vielen Dank im Voraus, Andi |
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Hallo Andi, ich habe mal folgendes überlegt: Setze g(x):=f(x+(1/2))-f(x), wobei g:[0;(1/2)] -> IR. (Hinweis: </i>Falls du den Beweis nicht vollständig vorgeführt bekommen willst, höre hier auf zu lesen und versuche, ihn alleine zu Ende zu führen!</i>). g ist wohldefiniert. Außerdem ist g stetig (warum?). Ferner gilt: g(1/2)=[f(1)-f(1/2)] und g(0)=f(1/2)-f(0) =f(1/2)-f(1) (weil ja f(0)=f(1) nach Voraussetzung) = - [f(1)-f(1/2)] d.h. es gilt: (I) g(1/2) = - g(0). Ist nun g(0) <> 0 ("<>" stehe für "ungleich"), so existiert (nach dem Zwischenwertsatz für stetiges g) ein c € (0;1/2) mit g(c)=0 (weil dann nach (I) entweder g(0) > 0 und g(1/2) < 0 gilt oder g(0) < 0 und g(1/2) > 0). Daraus folgt dann die Behauptung. Ist nun g(0)=0, so ist (nach (I)) auch g(1/2)=0. Also setzen wir in diesem Fall c:=1/2 (denn dann ist c € (0,1)) und wir sind fertig (es gilt dann: f(1/2)=f(1)). Überprüfe das aber bitte ;-) Entschuldige, wenn ich dir nun den ganzen Beweis hingeschrieben habe und du das gar nicht wolltest, ich habe aber dafür oben extra einen Hinweis eingefügt ;-) Viele Grüße Marcel |
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Hey Marcel! Das war echt erste Sahne, das habe ich komplett verstanden! Vielen Dank! |
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