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Beweis mittels Zwischenwertsatz

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

ubln42 aktiv_icon

15:14 Uhr, 16.06.2014

Hi!

Ich muss folgende Aufgabe lösen:

Es soll gezeigt werden, dass

x^{5} - x = c

für jedes

c \geq 0

eine Lösung in

[

0,unendlich) hat.

Das ganze soll nun mit dem Zwischenwertsatz (Def: Falls

f

eine stetige Funktion auf einem Intervall

[a, b]

ist und

c

Element von

[f (a), f (b)],

so existiert ein

x

Element von

[a, b]

mit

f (x) = c .)

gelöst werden.

Also:

Der Limes gegen Unendlich von

x^{5} - x

ist ja Unendlich und es gilt:
für jedes

c > 0

existiert ein

x_{c}

mit

f (x_{c}) > c

. Weiterhin gilt

f (0) = 0

und

c

Element von

[f (0), f (x_{c})]

. Wende ich nun der ZWS auf

[0, x_{c}]

für

x^{5} - x

an, erhalte ich für die linke Seite 0 und für die rechte Seite

x_{c}^{5} - x_{c}

.

Wie fahre ich nun fort bzw. bringe ich den Beweis konkret zu ende?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

15:53 Uhr, 16.06.2014

"Wende ich nun der ZWS auf

[0, x_{c}]

für

x^{5} - x

an, erhalte ich für die linke Seite 0 und für die rechte Seite

x_{c}^{5} - x_{c}

."

Du wendest ZWS irgendwie ziemlich komisch an, obwohl Du ihn richtig formuliert hast.

Du hast schon gezeigt: für jedes

c \geq 0

existiert ein

x_{c} > 0

mit

f (x_{c}) > c

.
Mehr brauchst Du auch nicht.
Du hast ein Intervall

[0, x_{c}]

und Du hast

c

aus dem Intervall

[f (0), f (x_{c})] = [0, f (x_{c})]

. Der ZWS sagt Dir dann, dass ein

y

aus

[0, x_{c}]

existiert, so dass

f (y) = c

. Fertig ist die Geschichte.

ubln42 aktiv_icon

15:57 Uhr, 16.06.2014

Das wars schon? Meinst du statt

y

nicht

x

ubln42 aktiv_icon

15:58 Uhr, 16.06.2014

Doppelter Post. Bitte löschen!

DrBoogie aktiv_icon

16:07 Uhr, 16.06.2014

Kannst auch

x

nehmen, spielt ja keine Rolle, ist nur ein Name.

ubln42 aktiv_icon

16:10 Uhr, 16.06.2014

Ja klar aber im Bezug auf die obige Definition des ZWS müsste es ja

x

sein aus dem Intervall oder?

rundblick aktiv_icon

16:10 Uhr, 16.06.2014

.
Es soll gezeigt werden, dass

x^{5} - x = c

für jedes c≥0 eine Lösung in

[

0,unendlich) hat.

Variante:

betrachte

f (x) = x^{5} - x - c

und zeige mit dem ZWS,
Beh: dass

f

(mindestens) eine Nullstelle

x_{0}

hat in I=

[

0,unendlich)

\to

trivial für

c = 0

\to

für alle

c > 0

.. ist

f (0) = - c < 0

.. ist

f (c) = c^{5} \in (0, \infty) . .

. dh

f (c) > 0

weil

f

stetig in I folgt die Behauptung nach ZWS ( und es ist

0 \leq x_{0} \leq c)

oder?

DrBoogie aktiv_icon

16:14 Uhr, 16.06.2014

Ein

x

aus dem Intervall oder ein

y

aus dem Intervall oder ein

G r o ß e r E l e f a n t 77 H u h u!

aus dem Intervall. Es ist egal, wie du diese Zahl nennst, solange sie im Intervall liegt. Aber wenn es Dir so besser gefällt,

x

ist (fast immer) eine gute Wahl. :-)

ubln42 aktiv_icon

16:17 Uhr, 16.06.2014

Alles klar danke! :-)

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