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Beweis, orthogonales Komplement

Universität / Fachhochschule

Tags: euklidischer Vektorraum

Didgeridoo aktiv_icon

14:50 Uhr, 09.04.2011

Sei V ein euklidischer Vektorraum und seien

W_{1}

und

W_{2}

Unterräume von V.

Ich soll zeigen: Falls

W_{1} \subset W_{2}

, dann

W_{2}^{⊥} \subset W_{1}^{⊥}

W_{1} \subset W_{2} \Leftrightarrow (\forall w_{1} \in W_{1} \Rightarrow w_{1} \in W_{2})

W_{2}^{⊥} = {v \in V ∣ < w_{2}, v > = 0}

W_{1}^{⊥} = {v \in V ∣ < w_{1}, v > = 0}

Was kann ich damit anfangen um die Aussage zu beweisen? Kann ich irgendwie verwenden, dass der Vektorraum euklidisch ist, sprich, dass ein Skalarprodukt darauf definiert ist?
Vielen Dank schon im Voraus!

michaL aktiv_icon

15:36 Uhr, 09.04.2011

Hallo,

zuerst musst du die orthogonalen Komplemente vernünftig aufschreiben:

W

Untervektorraum von

V

, dann heißt

{v \in V ∣ < v, w > = 0 für alle w \in W}

das orthogonale Komplement von

W

V

. Abkürzung:

W^{⊥}

Damit ist ja nun der Beweis in Zweizeiler:

Sei

W_{1} \subseteq W_{2}

und

x \in W_{2}^{⊥}

, d.h. es gilt

< x, w > \forall w \in W_{2}

.
Dann gilt auch

< x, w > \forall w \in W_{1}

, da die Menge

W_{1}

ja kleiner als und echt in

W_{2}

enthalten ist. Also gilt

x \in W_{1}^{⊥}

.

Mfg Michael

Didgeridoo aktiv_icon

18:37 Uhr, 09.04.2011

Danke vielmals. Darauf hätte man auch selbst kommen können! ;-)

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