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Beweis strahlensatz
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Ähnlichkeit, Strahlensatz
 
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Hallo zusammen, ich unterrichte bald Strahlensätze in einer Klasse. In der Stunde möchte ich die strahlensätze über das Berechnen einer Höhe in unzulänglichen Gebieten. In der Fachliteratur sehe ich nur Begründungen der Strahlensätze durch zentrische Streckungn. Lassen sich die strahlensätze nicht auch die die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke begründen? In der Strahlensatzfigur lassen sich ja ähnliche Dreiecke finden. Diesen Zugang wollte ich eigentlich in meiner Stunde nutzen. Übersehe ich da irgendwas? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Das sagt meine KI dazu: "Die Strahlensätze lassen sich hervorragend über ähnliche Dreiecke begründen, und das ist sogar ein sehr natürlicher und anschaulicher Zugang. Sie übersehen nichts - im Gegenteil, dieser Ansatz hat didaktische Vorteile. Begründung über ähnliche Dreiecke: In der klassischen Strahlensatzfigur entstehen automatisch ähnliche Dreiecke: Bei zwei sich schneidenden Geraden, die von zwei Parallelen geschnitten werden Die entstehenden Dreiecke haben gleiche Winkel (Scheitelwinkel, Wechselwinkel an Parallelen) Damit sind sie ähnlich, und es gelten die Verhältnisgleichungen Vorteile Ihres Ansatzes: Anschaulicher: Schüler sehen konkret die ähnlichen Dreiecke Motivierender: Höhenbestimmung ist ein praktisches Problem Logisch aufbauend: Ähnlichkeit → Strahlensätze (statt umgekehrt) Weniger abstrakt: Dreiecke sind greifbarer als zentrische Streckungen Warum zentrische Streckung in der Fachliteratur dominiert: Mathematisch eleganter und allgemeiner Erlaubt systematische Behandlung von Ähnlichkeitsabbildungen Historisch gewachsene Darstellungsweise Ihr Zugang ist absolut legitim und für die Klassenstufe wahrscheinlich sogar besser geeignet. Viele Lehrkräfte nutzen diesen Weg erfolgreich. Die Höhenbestimmung . Baumhöhe, Gebäudehöhe) ist ein klassisches und motivierendes Anwendungsbeispiel. Vertrauen Sie Ihrem didaktischen Instinkt - der Weg über ähnliche Dreiecke ist methodisch" |
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Hallo, Ähnlichkeit ist ein winkelgebundenes Konzept, zentrische Streckung ein streckengebundenes. Die Strahlensätze sagen nun eigentlich aus, dass diese beiden Dinge in gewisser Weise das gleiche bedeuten (zumindest bezogen auf Dreiecke). Um es herunterzubrechen (bitte Großzügigkeit in Hinblick auf fehlende Details walten lassen): Ähnliche Dreiecke gehen auseinander durch zentrische Streckung hervor. Zentrische Streckung fördert ähnliche Dreiecke zutage. Ich finde es die Sache wert, so dargestellt zu werden. (Scheint mit der von dir zurate gezogenen Literatur übereinzustimmen.) Wenn du die Strahlensätze mit ähnlichen Dreiecken beweisen wolltest, so scheint mir genau das zu fehlen, was den Beweis der Strahlensätze ausmacht: Dass ähnliche Dreiecke durch eine zentrische Streckung hervorgerufen wurden. Mir schwant, dass du darum nicht herumkommst. Man kann die Strahlensätze auch über gleiche Flächeninhalte beweisen. (Siehe etwa wikipedia) Aber, ob das die Sache für Schüler einfacher macht, wage ich zu bezweifeln... Mfg Michael |
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Danke! Tatsächlich habe ich das aber auch schon gemacht. Leider finde ich jedoch gar keine Beweise in der Fachliteratur oder Fachdidaktik. Da sind immer nur Beweise über die zentrische Streckung. In einem Artikel der Fachdidaktik stand, dass der Beweis der strahlensätze ohne die strahlensätze sehr umfangreich wäre. Deswegen frage ich mich, ob es überhaupt dann ausreicht wenn ich die strahlensätze über die Ähnlichkeit begründe. |
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Hallo, meiner Meinung nach nicht. Bedenke aber: Schule != Universität Insbesondere: In der Schule muss nicht streng bewiesen werden. (Dazu eine Klammer auf: Ich finde zwar dieses Paradigma diskussionswürdig, aber das geschieht nicht hier.) Kennst du einen Pantographen? Damit wäre der Einstieg in zentrische Streckung schüleroroientiert. Die (für die Strahlensätze) notwendigen Fragestellungen ergäben sich von selbst. (Winkeltreue, Längenverhältnistreue) Wenn du in dem Zuge mit einsammeltest, dass auch Kreise ähnlich sind (weil zentrisch gestreckt), hast du es später sehr einfach, die Umfangsformel herzuleiten. (Nur für einen Kreis durch Messung [führt zu ], Rest über zentrische Streckung.) Letztlich ginge es in der Vorbereitung mehr darum nachzuweisen, dass eine zentrische Streckung der Strecke AB (zunächst einmal mit geeignetem einfachen Streckfaktor (empfehle dringend mit 2 anzufangen), zu einer parallelen Strecke ebenfalls doppelter Länge führt. Der Beweis dazu ist von Schülern zu leisten (den besseren) bzw. nachzuvollziehen (den schwächeren). Er basiert auf Methoden, die vermutlich vorangegangen sind: kongruente Dreiecke und deren Folgerungen (Stufenwinkel, Eigenschaften von Parallelogrammen) Die Strahlensätze wären dann die Umkehrung dieses Satzes (zentrische Streckung führt zu parallelen Strecken unter Einhaltung des Streckfaktors, ist letztlich die Umkehrung des 1. Strahlensatzes). Meint: Bei Parallelität haben wir de facto eine zentrische Streckung vorliegen. Daraus folgt, dass Seitenverhältnisse gleich sind. Mfg Michael Weblinks: [1] de.wikipedia.org/wiki/Pantograf#:~:text=Pantagraph)%20bedeutet%20w%C3%B6rtlich%20aus%20dem,gleichen%2C%20gr%C3%B6%C3%9Feren%20oder%20kleineren%20Ma%C3%9Fstab. |
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"In der Schule muss nicht streng bewiesen werden." Warum auch? Zudem ist die Zeit knapp und das Personal mittlerweile auch. In diesem Fall geht es . darum, das Prinzip zu verstehen und es anwenden zu können. Mit genügend Bespielen lässt sich das gut einüben und es wandert ins Langzeitgedächtnis,wenn man Glück hat und es den/ie Schüler:in interessiert. Die Frage lautet heutzutage: Wie kann ich mir etwas am besten merken? |
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