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Beweis über Abgeschlossenheit Topologie

Universität / Fachhochschule

Algebraische Topologie

Tags: algebraisch, Analysis, Topologie

anonymous

15:08 Uhr, 14.04.2021

Sei

(X, T)

ein topologischer Raum und

Y

⊂ X. Zeigen Sie:

\bar{Y} = ⋂ {A : A

⊃

Y

und A abgeschlossen in

X}

\bar{Y} = Y

∪ ∂Y (die abgeschlossene Hülle von

Y)

Ich weiß wirklich nicht genau wie ich das zeigen soll... ich würde mich über jegliche Hilfe freuen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

15:27 Uhr, 14.04.2021

Hallo,
ist die zweite Zeile

\overline{Y} = Y \cup \partial Y

die Definition von

\overline{Y}

?
Gruß ermanus

anonymous

15:29 Uhr, 14.04.2021

Ja genau, das ist die Definition

ermanus aktiv_icon

15:47 Uhr, 14.04.2021

Habt ihr schon nachgewiesen, dass

\overline{Y}

abgeschlossen ist?

anonymous

15:48 Uhr, 14.04.2021

Ja haben wir (wir haben es definiert gehabt), aber diese Aufgabe haben wir noch nicht gemacht

ermanus aktiv_icon

16:06 Uhr, 14.04.2021

Gut. Nennen wir den Durchschnitt auf der rechten Seite

D

.
Dann gilt

Y \subset D \subset \overline{Y}

,
da ja

Y \subset \overline{Y}

ist, also

A = \overline{Y}

eine abgeschlossene Menge

A \supset Y

darstellt und infolgedessen als "Teilnehmer" des
Durchschnitts vorkommt.
Wenn man zeigen kann, dass jede abgeschlossene Menge

A \supset Y

den Rand

\partial Y

enthält, ist man durch.
Muss nun zur Impfung. Vielleicht findet sich ein fortsetzender Helfer ?
Gruß ermanus

anonymous

16:44 Uhr, 14.04.2021

Wenn niemand antwortet würde ich auch gerne warten, bis du mir, wenn du Zeit und Lust hast, weiter helfen könntest

ermanus aktiv_icon

07:44 Uhr, 15.04.2021

Hallo,
bin wieder da.
Kennt ihr die Hülleneigenschaften

A \subset B \Rightarrow \overline{A} \subset \overline{B}

?
und

A

abgeschlossen

\Rightarrow \overline{A} = A

anonymous

08:21 Uhr, 15.04.2021

Hallo,
ne leider kennen wir die Hülleneigenschaft noch nicht

anonymous

08:56 Uhr, 15.04.2021

Aber ich verstehe die Eigenschaften, die du angeführt hast, habe es gerade genauer angeschaut :-)

michaL aktiv_icon

09:08 Uhr, 15.04.2021

Hallo,

mir fehlt noch eure Definition des Randes

\partial Y

. Wie habt ihr das festgelegt?

Mfg Michael

anonymous

09:11 Uhr, 15.04.2021

"Sei

X

ein topologischer Raum und

Y

⊂

X

eine Teilmenge und

x

∈ X. Der Punkt

x

heißt Randpunkt von

Y,

wenn in jeder Umgebung von

x

sowohl ein Punkt von

Y

als auch ein Punkt von

X Y

liegt. Die Menge aller Randpunkte von

Y

heißt der Rand von

Y

und wird mit ∂Y bezeichnet."

anonymous

09:13 Uhr, 15.04.2021

Dort wo

X Y

steht soll stehen:

X

ohne

Y

(querstrich ging nicht)

michaL aktiv_icon

10:09 Uhr, 15.04.2021

Hallo,

mir scheint auch am einfachsten, die Isotonie von "

\overline{\dot{}}

" zu beweisen, d.h. für

A, B \subseteq X

mit

A \subseteq B

folgt

\overline{A} \subseteq \overline{B}

.

Dafür reicht es ja offenbar zu zeigen, dass

\partial A \subseteq B \cup \partial B

gilt.
Sei also

x \in \partial A

und

U (x)

das System aller Umgebungen von

x

.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten:

Entweder gilt auch für alle

U \in U (x)

U \cap (X \ B) \neq \emptyset

, was bedeutet, dass

x

auch ein Randpunkt von

B

ist.
Oder es gibt mindestens eine Umgebung

U

, für die

U \cap (X \ B) = \emptyset

gilt, woraus folgt, dass

x \in B

gilt.
So, oder so, es folgt

x \in A \cup \partial A

.

Der zweite zu erledigende Teil ist, dass "

\overline{\dot{}}

" idempotent ist, d.h.

\overline{\overline{M}} = \overline{M}

.

Das folgt aus

\partial \overline{M} = \partial M

.
Versuche dich doch mal an einem Beweis dessen. Danach ist die eigentliche Aufgabe doch relativ einfach.

Mfg Michael

anonymous

10:17 Uhr, 15.04.2021

Isotonie und idempotent ist mir jetzt fremd, das hatten wir noch nicht

michaL aktiv_icon

11:04 Uhr, 15.04.2021

Hallo,

isoton:

A \subseteq B \Rightarrow \overline{A} \subseteq \overline{B}

idempotent:

\overline{\overline{A}} = \overline{A}

Aber man muss ja auch darüber "reden" können.

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

11:19 Uhr, 15.04.2021

Da hat Michael dir ja noch was "fürs Leben" mitgegeben:
Hülloperationen sind immer isoton und idempotent.
Ich würde mittlerweile folgendes "elementar" beweisen:
Sei

A

abgeschlossen mit

Y \subset A

, dann gilt

\partial Y \subset A

.
Beweis hierzu:
Angenommen, es gäbe ein

x \in \partial Y \cap (X \ A),

dann wäre

X \ A

eine offene Umgebung dieses

x

.
Da

x \in \partial Y

ist, wäre

(X \ A) \cap Y \neq \emptyset

,
was wegen

Y \subset A

nicht möglich ist.

anonymous

11:21 Uhr, 15.04.2021

Danke, aber ich darf generell nur themen nutzen, die ich in der vorlesung hatte, das dürfte ich eigentlich nicht nutzen...

ermanus aktiv_icon

11:24 Uhr, 15.04.2021

In meinem ebigen Beitrag nutze ich keine allgemeinen Eigenschaften
der Hülloperation. Ich gehe ganz elementar vor.

anonymous

11:34 Uhr, 15.04.2021

Ok, alles klar danke sehr

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