Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis von Abschätzungen

Beweis von Abschätzungen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Norm

Stefsn aktiv_icon

15:25 Uhr, 27.10.2019

Hallo ihr Guten!!!

Ich habe folgende Aufgabe, bei der ich nicht weiterkommen. Vielleicht habt ihr ja ein paar Tipps oder Anregungen. :-)

Zeigen Sie, dass für die Spektralnorm

∣ ∣ A ∣ ∣_{2}

, die Frobeniusnorm

∣ ∣ A ∣ ∣_{F}

und die max-Norm

∣ ∣ A ∣ ∣_{m a x}

einer Matrix

A \in ℝ^{m x n}

die folgenden Abschätzungen gelten:

(i)

∣ ∣ A x ∣ ∣_{2} \leq ∣ ∣ A ∣ ∣_{F} ∣ ∣ x ∣ ∣_{2}

und

∣ ∣ A x ∣ ∣_{2} \leq ∣ ∣ A ∣ ∣_{m a x} ∣ ∣ x ∣ ∣_{2}

für alle

x \in ℝ^{n}

(ii)

∣ ∣ A ∣ ∣_{2} \leq ∣ ∣ A ∣ ∣_{F} \leq ∣ ∣ A ∣ ∣_{m a x}

Bei (i) habe ich die Ungleichung

∣ ∣ A x ∣ ∣_{2} \leq ∣ ∣ A ∣ ∣_{F} ∣ ∣ x ∣ ∣_{2}

mittel Cauchy-Schwarz-Ungleichung gezeigt. Bei den anderen beiden fehlt mir leider jeglicher Ansatz oder Idee. :/

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Stefsn aktiv_icon

19:33 Uhr, 27.10.2019

Also ich glaube, dass ich die Aufgabe geknackt habe. :-D) Vielleicht kann ja jemand schauen, ob ich einen Denkfehler habe.

∣ ∣ A ∣ ∣_{F} := \sqrt{\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j}^{2}}

∣ ∣ A ∣ ∣_{m a x} := \sqrt{m n} max_{i, j = 1, . . ., m, n} ∣ a_{i j} ∣

Sorry für die komischen Summen und der nicht korrekten Doppelzeiligen max Notierung. habe es nicht hinbekommen. :(

Also:

∣ ∣ A x ∣ ∣_{2} = {(\sum_{i = 1}^{m} {∣ \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{j} ∣}^{2})}^{1 / 2}

mit Cauchy-Schwaz-Ungleichung

\leq {(\sum_{i = 1}^{m} (\sum_{j = 1}^{n} {∣ a_{i j} ∣}^{2}) (\sum_{j = 1}^{n} ∣ x_{j} ∣^{2}))}^{1 / 2}

Das wäre dann mit oberen Definitionen schonmal

∣ ∣ A x ∣ ∣_{2} \leq ∣ ∣ A ∣ ∣_{F} \cdot ∣ ∣ x ∣ ∣_{2}

Und dass kann man für die Max-Norm direkt weiter abschätzen, indem wir für jeden Eintrag in

A

den maximalen Wert nehmen:

\leq {(\sum_{i = 1}^{m} (\sum_{j = 1}^{n} max_{i, j = 1, . . ., m, n} ∣ a_{i j} ∣^{2}))}^{1 / 2} \cdot ∣ ∣ x ∣ ∣_{2}

Durch die äußere und innere Summe addieren wir den maximalen Wert der Matrix

A

n

mal

m

mal. Also ergibt Sicht:

= {(m n max_{i, j = 1, . . ., m, n} ∣ a_{i j} ∣^{2})}^{1 / 2} \cdot ∣ ∣ x ∣ ∣_{2}

= \sqrt{m n} max_{i, j = 1, . . ., m, n} ∣ a_{i j} ∣ \cdot ∣ ∣ x ∣ ∣_{2}

= ∣ ∣ A ∣ ∣_{m a x} \cdot ∣ ∣ x ∣ ∣_{2}

Und damit habe ich auch direkt (ii) mit bewiesen, weil ich doch in der Ungleichung überall geteilt durch

∣ ∣ x ∣ ∣_{2}

rechnen kann, weil gilt

\frac{∣ ∣ A x ∣ ∣_{2}}{∣ ∣ x ∣ ∣_{2}} = ∣ ∣ \frac{1}{∣ ∣ x ∣ ∣_{2}} A x ∣ ∣_{2} = ∣ ∣ A \frac{x}{∣ ∣ x ∣ ∣_{2}} ∣ ∣_{2} = ∣ ∣ A ∣ ∣_{2}

$

Ah bin ich gerade ein klein wenig stolz, wenn das passt. *-*

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1483874

1483811

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?