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Beweis von Archimedes Formel

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Integration

Tags: Differentiation, Integration

Fruehstudent aktiv_icon

13:06 Uhr, 08.11.2014

Entschuldigt die Frage.
Formel von Archimedes:
Der Flächeninhalt eines Parabelsegments beträgt

\frac{2}{3}

des Parallelogramms, das durch die Sehne und die zu ihr parallele Tangente bestimmt ist.

Nur wie kann man diese Formel beweisen bzw. wie sieht der Beweis aus?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

DrBoogie aktiv_icon

23:05 Uhr, 08.11.2014

Hier gibt's einen rein geometrischen Beweis:
http//www.instmath.rwth-aachen.de/Preprints/bemelmans20110116.pdf

Atlantik aktiv_icon

06:31 Uhr, 09.11.2014

f (x) = x^{2}

und

g (x) = 3 x

Schnittpunkte:

x^{2} - 3 x = 0

x_{1} = 0

und

x_{2} = 3

Segmentfläche:

A_{S} = \int_{0}^{3} [f (x) - g (x)] d x = \int_{0}^{3} (3 x - x^{2}) d x = {[\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{3} =

= (\frac{3 \cdot 3^{2}}{2} - \frac{3^{3}}{3}) - 0 = 4,5

Tangente an Parabel:

f

(x) = 2 x

und

g

(x) = 3

2 x = 3

x_{T} = \frac{3}{2}

und

y_{T} = {(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}

Punkt-Steigungsformel:

\frac{y - y_{T}}{x - x_{T}} = m

y = m (x - x_{T}) + y_{T}

y = m x - m x_{T} + y_{T}

y = 3 x - 3 \cdot \frac{3}{2} + \frac{9}{4}

y = 3 x - \frac{9}{2} + \frac{9}{4}

y = 3 x - \frac{9}{4}

Schnitt mit x-Achse:

3 x - \frac{9}{4} = 0

x = \frac{3}{4}

A_{P} = \frac{3}{4} \cdot 9 = \frac{27}{4}

\frac{27}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{9}{2}

q . e . d

... ... ... ... ... ... .

.
Jetzt geht deine Arbeit los:

Du musst nun dieses in allgemeiner Form machen:

f_{a, b, c} (x) = a x^{2} + b x + c

und

g (x) = m x + n

Viel Erfolg!

mfG

Atlantik

Z e i c h n u n g :

Fruehstudent aktiv_icon

10:42 Uhr, 09.11.2014

Und wie würde es allgemein aussehen, weil ich immer hängen bleibe?
Weil da kommt man doch nicht auf die

\frac{2}{3}

f (x) = x^{2}

Die Punkte

(a, f (a))

und

(b, f (b))

für

a < b

Sekante:

s (x) = a^{2} + \frac{b^{2} - a^{2}}{b - a}

(x-a)=a^2+(b+a)(x-a)=(b+a)x-ab
Abstand:

h (x, y) = {(x - y)}^{2} + {(s (x) - f (y))}^{2}

dann
0=∂_1

h (x, y) = 2 (x - y) + 2 (s (x) - f (y)) s^{'} (x)

=2(x-y+(b+a)((b+a)x-ab-y^2)

= 2 x + (1 + {(b + a)}^{2}

)-2(y+ab(b+a)+(b+a)

y^{2})

Also
x=(y+ab(b+a)+(b+a)

y^{2} \frac{)}{1 + {(b + a)}^{2}}

Außerdem
0=∂_2 h(x,y)⇒x=(2y^3+(2ab+1)y)/((2b+2a)y+1)
Lösung

y_{0}

muss eindeutig in

(a, b)

sein, daher liefert gleichsetzen

y_{0} = \frac{a + b}{2}

und x_0=((b+a)(b^2+6ab+a^2+2))/(4(b^2+2ab+a^2+1))
dann

h = h (x_{0}, y_{0}) = \frac{{(b - a)}^{4}}{16} (1 + {(b + a)}^{2})

Parallelogrammfläche

A = h (b - a) = \frac{{(b - a)}^{5}}{16} (1 + {(b + a)}^{2})

Außerdem
B=∫_a^b▒〖s(x)-f(x) □(24&dx)=∫_a^b▒〖(b+a)x-ab-x^2 □(24&dx)=〗〗

\frac{{(b - a)}^{3}}{6}

Fruehstudent aktiv_icon

20:25 Uhr, 09.11.2014

Könntest du mir sagen wie es richtig wäre?

Atlantik aktiv_icon

06:20 Uhr, 10.11.2014

Leider steige ich bei deinem Ansatz nicht durch und versuche es mal so:

f (x) = a x^{2} + b x + c

und

g (x) = m x + n

Nullstellen:

a x^{2} + b x + c = m x + n

a x^{2} + b x - m x = n - c

a x^{2} + (b - m) x = n - c

x^{2} + \frac{b - m}{a} x = \frac{n - c}{a}

wobei

a \neq 0

{(x + \frac{b - m}{2 a})}^{2} = \frac{n - c}{a} + \frac{b^{2} - 2 b m + m^{2}}{4 a^{2}} = \frac{4 a n - 4 a c + b^{2} - 2 b m + m^{2}}{4 a^{2}} | \sqrt{}

x_{1} = \frac{m - b}{2 a} + \frac{1}{2 a} \sqrt{4 a n - 4 a c + b^{2} - 2 b m + m^{2}}

x_{2} = \frac{m - b}{2 a} - \frac{1}{2 a} \sqrt{4 a n - 4 a c + b^{2} - 2 b m + m^{2}}

A_{S} = \int_{\frac{m - b}{2 a} - \frac{1}{2 a} \sqrt{4 a n - 4 a c + b^{2} - 2 b m + m^{2}}}^{\frac{m - b}{2 a} + \frac{1}{2 a} \sqrt{4 a n - 4 a c + b^{2} - 2 b m + m^{2}}} (a x^{2} + b x + c - m x - n) \cdot d x = . .

.

Ich sehe gerade, dass dies eine Hunderechnung wird, und ich zweifle daran, ob dies überhaupt zum Beweis des Sachverhalts nötig ist.

Frag mal deinen Prof.

mfG

Atlantik

P . S

.
Vielleicht reicht ja auch die abgespeckte obige Zahlenform.

Fruehstudent aktiv_icon

06:23 Uhr, 10.11.2014

Danke trotzdem für die Mühe.
Werde dann halt den geometrischen Beweis nehmen.

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