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Beweis von Gauß´sche Glockenkurve

Schüler

Tags: glockenkurve

OberMatheloser aktiv_icon

11:18 Uhr, 26.08.2012

Guten Tag,

Wie beweise ich die Gauß´sche Glockenkurve? Es ist mir einfach nicht ersichtlich, wie ich vorgehen muss.
Um ehrlich zu sein, kann ich diese Formel nicht mal nachvollziehen.

Gruß

prodomo aktiv_icon

11:42 Uhr, 26.08.2012

Ohne jede Angabe zu Jahrgangsstufe und Vorkenntnissen ist eine Hilfe praktisch unmöglich. Stichwort "Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace"

OberMatheloser aktiv_icon

12:21 Uhr, 26.08.2012

Jetzt bin ich in Jahrgangsstufe

13

und das letzte was wir bekommen haben, war so ein Arbeitsblatt mit der Überschrift "Die Näherungsformel von Laplace und de Moivre"

hagman aktiv_icon

13:12 Uhr, 26.08.2012

"Wie beweise ich die Gauß'sche Glockenkurve?"
Ein Objekt kann man nicht beweisen, höchstens eine Aussage.
Welche Aussage willst du beweisen?

OberMatheloser aktiv_icon

20:59 Uhr, 28.08.2012

Ich gehe mal anders da ran:

Also wozu brauche ich die Glockenkurve?

hagman aktiv_icon

22:56 Uhr, 28.08.2012

Die Glockenkurve, oder genauer die durch

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}}

gegebene Funktion spielt in zahlreichen Anwendungen eine Rolle, beispielsweise in der Bildbearbeitung für Weichzeichnereffekte; hierbei spielt eine Rolle, dass wiederholtes Gauß-Weichzeichnen einfach ein stärkeres Gaußweichzeichnen ist und dass unabhängig in

x -

und y-Richtung erfolgendes Gauß-Weichzeichnen richtungsunabhänig ist (denn:

f (x) \cdot f (y)

hängt nur von

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

ab, ja es ist sogar einfach

f (x) \cdot f (y) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \cdot f (r)),

und auch dass sich die Gesamthelligkeit nicht ändert (denn

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1)

.
Die Gockenkurve spielt aber auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Rolle, nämlich als Grenzverteilung von Zufallsvariablen: Sinde

X_{1}, X_{2}, . .

. unabhängige, derselben Verteilung unterliegende Zufallsvariable mit Erwartungswert 0 und Varianz

1,

so ist mit wachsendem

n

die Zufallsvariable

Y_{n} := \frac{1}{\sqrt{n}} (X_{1} + ... + X_{n})

immer genauer durch die Glockenkurve beschrieben,

d . h

. für jedes

s, t \in ℝ

gilt

lim_{n \to \infty} P (s \leq Y_{n} < t) = \int_{s}^{t} f (x) d x

OberMatheloser aktiv_icon

08:48 Uhr, 02.09.2012

Danke.
Was ist genau die "Standardisierung von Binomialverteilungen"
ich habe das nun so verstanden: Irgendeine Binomialverteilung wird so verschoben und gestaucht etc., sodass sie die Form einer Glocke annimmt und somit die Glcokenkurve erkennbar ist. Ist das so richtig?

Aber welchen Vorteil hat es, dass man eine x-beliebige Binomialverteilung standardisiert?

prodomo aktiv_icon

12:15 Uhr, 02.09.2012

Mit den Möglichkeiten der heutigen Taschenrechner ist das nicht mehr so klar wie noch vor

10

Jahren. Beispiel: Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht man bei

400

Versuchen mit einem Glücksrad mindestens

100

und höchstens

140

Erfolge, wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit

35 %

beträgt. Exakt wäre

\sum_{k = 100}^{140} (\begin{matrix} 400 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,35}^{k} \cdot {0,65}^{400 - k}

. Aber die praktische Berechnung scheiterte an den großen Zahlen.

300

Jahre vorher gab es noch gar keine Rechner, da war eine Näherungsformel für Binomialverteilungen mit großen Zahlen schon sehr hilfreich.

OberMatheloser aktiv_icon

17:38 Uhr, 03.09.2012

Okay.

Und wieso genau muss die Standardabweichung mindestens 3 sein, damit man eine Glockenform erkennen kann?

prodomo aktiv_icon

09:30 Uhr, 04.09.2012

Das ist ein Erfahrungswert, bei dem die Abweichungen von dem Wert der Binomialverteilung noch vertretbar erscheinen (rein willkürlich)

OberMatheloser aktiv_icon

18:34 Uhr, 04.09.2012

Okay vielen Dank!!
Wenn ich noch eine Frage habe, dann poste ich es nochmal ganz neu; sonst muss man hier zu lange runter scrollen und das ist zu nervig.

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