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Beweis von Gleichungen, Parallelogrammgesetz

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Tags: Skalarprodukt, Vektorraum

Lawliet aktiv_icon

14:54 Uhr, 10.11.2021

Hallo,

befassen uns zur Zeit mit Vektoren und haben die folgenden Gleichungen als Sätze bekommen:

1. Für Vektoren

\vec{a}, \vec{b} \in ℝ^{n}

mit

\vec{a} ⊥ \vec{b}

gilt:

{| \vec{a} + \vec{b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} + {| \vec{b} |}^{2}

\forall

Vektoren

\vec{a}, \vec{b} \in ℝ^{n}

gilt:

\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{4} \cdot ({| \vec{a} + \vec{b} |}^{2} - {| \vec{a} - \vec{b} |}^{2})

Diese gilt es nun zu beweisen, bei 1. habe ich mir folgendes überlegt:

{| \vec{a} |}^{2} + {| \vec{b} |}^{2}

= {| \vec{a} |}^{2} + 2 \cdot 0 + {| \vec{b} |}^{2}

= \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \cdot 0 + \vec{b} \cdot \vec{b}

= {\vec{a}}^{2} + 2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + {\vec{b}}^{2} | \vec{a} \cdot \vec{b} = 0,

\vec{a} ⊥ \vec{b}

= {| \vec{a} + \vec{b} |}^{2}

Jedoch bin ich bei 2. relativ planlos bis jetzt. Korrigiere, habe beim Schreiben gerade nochmal darüber nachgedacht und bin darauf gekommen:

\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{4} \cdot ({| \vec{a} + \vec{b} |}^{2} - {| \vec{a} - \vec{b} |}^{2})

= \frac{1}{4} \cdot ({\vec{a}}^{2} + 2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + {\vec{b}}^{2} - {\vec{a}}^{2} + 2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) - {\vec{b}}^{2})

= \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}))

= \vec{a} \cdot \vec{b}

Ist das so korrekt?
Danke im Voraus!

Mit freundlichen Grüßen
Lawliet

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Skalarprodukt

ledum aktiv_icon

21:47 Uhr, 10.11.2021

Hallo
wirklich alles perfekt und richtig
Gruß ledum

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