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Beweis von Normierten Räumen?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Beweisverfahren, Folgen, Norm, reih, Vektorraum

 
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mrjap

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04:16 Uhr, 10.05.2021

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Ich verzweifle an folgender Aufgabe:

Seien X,Y normierte Räume. Zudem sei f:X → Y eine stetige, lineare Funktion mit f(0)=0 und ||.||g:X → R≥0 mit ||x||g:=||.||x+||f(x)||y gegeben.

Zeigen Sie: ||.||g ist eine Norm

Ich weiß dass ich hier die 3 Normkriterien beweisen muss, weiß jedoch nicht wie.
Bin über jede Hilfe dankbar!
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

07:48 Uhr, 10.05.2021

Antworten
"Ich weiß dass ich hier die 3 Normkriterien beweisen muss, weiß jedoch nicht wie."

Na wie denn? Direkt.
Z.B. ist ∥ax∥g=∣a∣⋅∥x∥g für jede Zahl a zu zeigen. Also zeigen wir es:
∥ax∥g=∥ax∥X+∥f(ax)∥Y=∥ax∥X+∥af(x)∥Y=∣a∣⋅∥x∥X+∣a∣⋅∥f(x)∥Y=∣a∣⋅(∥x∥X+∥f(x)∥Y)=∣a∣⋅∥x∥g.
Die anderen 2 genauso.
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