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Beweis von Quadratwurzel komplexer Zahlen

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Analytische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie, Analytische Zahlentheorie, Komplexe Zahlen

melody88 aktiv_icon

15:40 Uhr, 13.05.2010

Hallo ihr Lieben,

ich benötige einen Beweis zu folgendem Satz. Ich verstehe auch den Sinn nicht. Stehe auf dem Schlauch.
Weshalb wurde diese Formel für die Quadratische Lösung der komplexen Zahlen definiert? Wie kommt man auf sie und weshalb macht man das nicht so wie bei den reellen Zahlen auch? Dachte immer das es so geht und jetzt weiß ich nich weiter mit dieser Formel.
Benötige daher dringend Hilfe :(

Satz:
Es sei

c = a + i b

a, b \in ℝ

, irgendeine komplexe Zahl.
Man setze

ζ := \sqrt{\frac{1}{2} (a + ∣ c ∣)} + i \frac{b}{∣ b ∣} \sqrt{\frac{1}{2} (- a + ∣ c ∣)}

, wenn

b \neq 0;

ζ := \sqrt{∣ c ∣}

, wenn

b = 0, a \geq 0

;

ζ := i \sqrt{∣ c ∣}

, wenn

b = 0, a < 0

Dann gilt stets:

ζ^{2} = c

Edit von Shipwater(Moderator): Fehlende Dollarzeichen eingefügt

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

hagman aktiv_icon

17:32 Uhr, 13.05.2010

Zum Glück ist der Beweis ganz leicht, denn du musst ja nur das gegebene

ζ

quadrieren.
Im generischen Fall führt dies auf

ζ^{2} = {(\sqrt{\frac{1}{2} (a + | c |)} + i \frac{b}{| b |} \sqrt{\frac{1}{2} (- a + | c |)})}^{2}

= {(\sqrt{\frac{1}{2} (a + | c |)})}^{2} - {(\frac{b}{| b |} \sqrt{\frac{1}{2} (- a + | c |)})}^{2} + 2 i \cdot \sqrt{\frac{1}{2} (a + | c |)} \cdot \frac{b}{| b |} \sqrt{\frac{1}{2} (- a + | c |)}

= \frac{1}{2} (a + | c |) - \frac{b^{2}}{{| b |}^{2}} \cdot \frac{1}{2} (- a + | c |) + 2 i \cdot \frac{b}{| b |} \cdot \sqrt{\frac{1}{4} \cdot (a + | c |) \cdot (- a + | c |)}

= \frac{1}{2} (a + | c |) - \frac{1}{2} (- a + | c |) + 2 i \cdot \frac{b}{| b |} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{| c |}^{2} - a^{2}}

= a + i \cdot \frac{b}{| b |} \cdot \sqrt{b^{2}}

= a + i \cdot \frac{b}{| b |} \cdot | b |

= a + i b

= c

melody88 aktiv_icon

20:02 Uhr, 13.05.2010

Vielen Dank! Der Rechenweg ist mir nun klar.
Aber weshalb nimmt man diesen Weg?
Also warum heißt es nicht

ζ = \sqrt{a + i b}

sondern

ζ = \sqrt{\frac{1}{2} (a + ∣ c ∣)} + i \frac{b}{∣ b ∣} \sqrt{\frac{1}{2} (- a + ∣ c ∣)}

?

weshalb muss das so sein?
Was ist die Logik dabei?

hagman aktiv_icon

12:28 Uhr, 14.05.2010

a + i b

ist eine beliebige komplexe Zahl - weisst du, wie man da die Quadratwurzel ausrechnet? Nein, denn das soll ja erst der Sinn dieser Aufgabe sein.

\frac{1}{2} (a + | c |)

und

\frac{1}{2} (- a + | c |)

sind dagegen nicht-negative reelle Zahlen - dort ist die Quadratwurzelfunktion definiert.

melody88 aktiv_icon

17:00 Uhr, 16.05.2010

Verstehe... Das Rantasten ohne direkt die Wurzel der komplexen Einheit i zu ziehen.
Bevor man überhaupt wusste, wie man damit klarkommen soll. ok. is mir nun klar :-)

Vielen Dank!

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