Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis von Stetigkeit

Beweis von Stetigkeit

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

Marcel11 aktiv_icon

17:30 Uhr, 17.08.2018

Nabend,

Wie beweise ich, dass eine Funktion stetig ist ?

Beispielsweise

x + x^{2}

Was genau muss ich zeigen ?

f (x)

ist an einer Stelle

x 0

stetig wenn xo definiert ist,

lim f (x)

in Richtung

x 0

existiert und

lim

f(x)ind Richting xo

= x 0

Aber wie sieht das im konkreten Beweis aus ?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

rundblick aktiv_icon

18:45 Uhr, 17.08.2018

.
"f(x) ist an einer Stelle

x 0

stetig

\to

wenn xo definiert ist, ...UNSINN
limf(x) in Richtung

x 0

existiert
und

lim

f(x)ind Richting xo =x0"

. .

. FALSCH

. .

\to

du hast es leider nichtmal geschafft, die Definition richtig abzuschreiben..

also kurz:

f (x)

ist an einer Stelle

x_{0}

stetig

\to

\to

wenn

f (x)

an der Stelle

x_{0}

definiert ist, dh

\to

wenn ein Funktionswert

f (x_{0})

existiert
2.

\to

wenn an der Stelle

x_{0}

ein Grenzwert

lim_{x \to x_{0}} f (x)

existiert
3.

\to

wenn an der Stelle

x_{0}

Funktionswert und Grenzwert übereinstimmen also wenn

lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})

"Aber wie sieht das im konkreten Beweis aus ?"

\to

überprüfe die drei Bedingungen für dein Beispiel

\to f (x) = x + x^{2}

.. das wirst du ja wohl als Student können ..

ok?

anonymous

09:25 Uhr, 18.08.2018

Hallo Marcel
Grundsätzlich ist es so, dass viele Funktionen an fast allen Stellen stetig sind.
Um Stetigkeit zu hinterfragen und zu studieren nutzt man daher meist Funktionen, die eben Verdachtsstellen für Unstetigkeit haben.
Verdachtsstellen sind typischerweise:

>

Polstellen

>

Definitionslücken

>

Grenzzstellen von abschnittsweise definierten Funktionen

> . .

.

Dein Beispiel

y = x + x^{2}

ist ein wenig ungeschickt, um Stetigkeit zu untersuchen.
Wo soll denn eine Parabel unstetig sein?
Trivial gesagt: Du hast schon

1000

Parabeln zu Papier gebracht. Das hast du immer so gemacht, dass du mit einem Schreibgerät die Kurve durchgezogen hast, ohne abzusetzen. Also, wo sollte die Parabel unstetig sein?
Will sagen: Wenn du das mal verstanden hast, dann erkennst du schlagartig:
Eine Parabel ist immer stetig.
(Begründung: Sie haben keine Polstellen, Definitionslücken, Grenzstellen,

...,

kurz gesagt keine Verdachtsstellen, die die Stetigkeit in Frage stellen.)

Zum Studium der Stetigkeit empfehle ich eher Beispiele, die eben Verdachtsstellen besitzen.
Darf ich vorschlagen:
Gegeben sei die abschnittsweise definierte Funktion:

y (x) = x + x^{2}

für

x \leq 2

y (x) = 2 \cdot x + 2

für

x > 2

So, das ist eine Aufgabe, die wert ist, sich dem Thema Stetigkeit zu widmen.
Wo würdest du die Stetigkeit untersuchen?
Zu was für Schlüssen kommst du?

anonymous

16:09 Uhr, 18.08.2018

Hast du schon mal programmiert?

" BASIC macht Freude. "

Genau so hier; ich möchte dir heute

\to

Edward Nelson vorstellen, von dem du vermutlich noch nie gehört hast und seine Teorie, die

" Nonstandard Analysis " ( NSA ; IST ) NSA macht Freude .

Als Lehrbuch empfehle ich dir Alain Robert bei Wiley ( neueste Ausgabe bei Amazon )
Robert schreckt auch nicht davor zurück, sein Lehrbuch mit reichlich Karikaturen zu spicken

" We have to admit there are nonstandard black holes

. .

. "

Ein Wermutstropfen bleibt uns allerdings. Von Anfang an betonte Nelson, selbst hoch begabte Genies beginnen seine Teorie zu stammeln wie kleine Kinder die Grammatik ihrer Muttersprache - voller Fehler .

" Me don

' t

no like daddy

. .

. "

" Susy Balla haben. "

Vor den Preis haben die Götter den Schweiß gesetzt; aber das heißt doch nicht, dass es der Mühe nicht verlohne, sprechen zu lernen

. .

.
Das Original Nelsonpaper ( alle Zitate bei Robert ) ist darin einzigartig, dass es sich mit den häufigsten DENKFEHLERN

(!)

seiner Leser auseinandersetzt . Ich selbst telefonierte mal mit einem Schweizer Professor, der gegen die NSA einwandte, er habe " Gerüchte

(!)

weise vernommen, dass die NSA Mengen wie

ℕ

und

ℝ

als endlich " definiere, die für einen Normalo unendlich sind . Als ich ihm heftig widersprach, berief er sich darauf, er habe keine Ahnung; es handle sich um ein Gerücht aus Kollegenkreisen

. .

.
Dann erwähnte ich auf dem Portal Matelounge mal den Schattensatz der NSA , der eine Aussage macht über die Eindeutigkeit einer ganz bestimmten Zerlegung. Da erwartete ich nun wirklich keine Widerworte - weit gefehlt . Es meldete sich ein Kommentator, es gebe doch unendlich viele Möglichkeiten einer Zerlegung

a = x + y

. Mal sehen, wo bei dir das Verständnis aushakt .
Nelson ist stolz wie Oskar, dass es ihm gelungen ist, den Begriff der inf(initesimalen ) Zahl zu rehabilitieren, von der das Fischerlexikon ( das leider nicht mehr verlegt wird ) behauptete

" Der Begriff der inf Zahl hat in der Analysis nichts zu suchen, weil er sich nicht Sinn voll axiomatisieren lässt. "

Hier wie in allen vergleichbaren Fällen gilt das wort von meinem Chef

" Kann MAN es nicht; oder wollten Sie nur gesagt haben, dass SIE dazu unfähig sind? "

Eine Germanistikprofesseuse sagte mal im Hörfunk, vorlesungen seien nicht dazu da, Romane zu lesen so wie in der Schule. Wenn du nicht auch am Wochenende selbstständig liest und liest und liest, gehst du unter .
In Matematik gibt es aber ein vergleichbares Phänomen; nicht für alles, was du lernen willst, wird eine Vorlesung angeboten. Irgendwann musst du dich frei schwimmen und autodidaktisch mit so einem Text zu Recht kommen. Ich hörte das immer wieder

" Die MARIANNE ( Dozentin ) hat gesagt, ich SOLL über dieses Paper ein Referat halten

. .

. "

Gut. Ob die NSA Teil deiner Karriere werden soll, kannst letzten Endes nur du entscheiden; ich kann zwar keine Vorlesung ersetzen, aber doch wenigstens die Notation etwas durchsichtiger gestalten .
Ab Jetzt darf eine Variable " klein a " nur dann als " groß A " notiert werden, wenn ihr Wertebereich ausdrücklich auf Standardwerte beschränkt ist . Genau wie man etwa Vektoren mit gotischen Buchstaben hervor hebt, damit jeder schnallt, aha, ein Vektor . Und für inf Größen setze ich griechische Buchstaben.

DEFINITION

1 (

inf Stetigkeit )

= = = = = =

Eine Funktion

y = f (x)

heiße inf stetig in

x_{0},

falls

f (x_{0} + ε) = f (x 0) +

(1 a)

oder auch geschrieben als Differenzial

f (x_{0} + d x) = f (x_{0}) + d y (1 b)

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

SATZ

1 (

Stetigkeit )

= = = = = =

Eine Funktion

Y = F (x)

ist stetig in

X_{0} \Leftrightarrow

Sie ist inf stetig in

X_{0}

( Beachre die Groß-Kleinschreibung; die NSA ist " case sensitive " )

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Auch wenn es trivial klingt; zunächst sei fest gehalten: Deine Beispielfunktion

F

ist Standard . Grundregel; alles, worüber du reden kannst, ohne je von diesem Onkel Nelson gehört zu haben, ist Standard .
Ich habe mir da einen bombigen Vergleich ausgedacht; geh mal aus von einem hypotetischen Mann namens Bob - Feministen mögen ihn Alice nennen - der von Geburt an Farben blind ist in dem Sinne, dass er die Welt so sieht, wie sie dir auf einem Schwarzweiß Foto oder Fernsehbild erscheint . Nelson ist einfach ein farbtüchtiger Normalo; Farbe bringt mehr Kontrast in die Welt .
ABER . Alles, was in Bobs Welt wahr ist, ist auch wahr für uns; umgekehrt ist die Frage, ob es so etwas wie Farbe überhaupt gibt, für Bob unentscheidbar im Gödelschen Sinne .
( Mit die größte Klasse von einwänden gegen Nelson beruht auf dem Missverständnis, irgendetwas könne in der Nelsonwelt falsch sein, was vor Nelson richtig war. )
Ich betrachte also ein Standard

X_{0} < 2

F (X_{0} + ε) = (X_{0} + ε)

+ (X_{0} + ε) = (2 a)

= X_{0}

+ X_{0} + 2 ε X_{0} + ε + ε

(2 b)

Nun gelten aber in

(2 b)

die Abschätzungen; und da verweise ich auf Robert - es ist aber selbstverständlich

Standard

\cdot

inf = inf

(3 a)

inf

\cdot

inf = inf

(3 b)

Streng genommen brauchen wir noch so etwas wie

inf

+

inf

+

inf = inf

(3 c)

so dass nunmehr

F (X_{0} + ε) = F (X_{0}) +

(4)

Für

X > 2

gestaltet sich die Abschätzung sogar technisch noch einfacher.
Aber meine Strategie gründet sich darauf, zunächst sämttliche Standardfälle abzuhandeln . Für

x 0 = 2, ε < 0

wiederholt sich die Situation von

X < 2

. Nur eben: Inf stetig bedeutet auch hier, dass es für beliebige positive wie negative

ε

gilt . In einer Nebenrechnung besorge ich mir zunächst

F (2)

F (2) = 2

+ 2 = 6 (5 a)

ε > 0 \to F (2 + ε) = 2 (2 + ε) + 2 = (5 b)

= 4 + 2 + 2 ε = 6 + 2 ε = (5 c)

= F (2) +

(5 d)

Was ist jetzt noch offen?

X

musste ja Standard sein wegen Satz 1 . Wie beweist man, dass deine Funktion auch stetig ist für alle übrigen x? Schau mal in den Robert; das Transferaxiom. Das ist der Schluss von Standard auf Beliebig; genau wie übliche Beweise enden mit " wzbw " , steht bei Nelson immer " RdT " ( Rest durch Transfer )
Aber beim ersten Mal kommt es dir vielleicht nicht ganz so trkvial vor; es ist die Schlussregel

\forall X | F (X)

stetig

\to \forall x | F (x)

stetig

(6)

Marcel11 aktiv_icon

18:04 Uhr, 20.08.2018

Nabend,
ich habe mich leider sehr dämlich ausgedrückt.

Beispielsweise für die Funktion:

f (x) = ln (1 + x^{2})

Wenn ich überprüfen möchte ob diese Funktion im Punkt 2 stetig ist.
Ich schaue ob ein Funktionswert für 2 existiert - Ja. Ich schaue ob ein limes für

x

gegen 2 existiert - Ja, dieser beträgt

ln (5)

und zu guter letzt schaue ich ob

lim x

gegen 2 von

f (x) =

Funktionswert

f (2)

ist. In diesem Fall ja:

ln (5) = ln (5)

.

Dies ist der Beweis für einen spezifischen Punkt. Gibt es auch einen Beweis der zeigt, dass eine gesamte Funktion stetig ist ?

In meinem konkreten Beispiel könnte man natürlich argumentieren, dass die

ln

Funktion für Werte

> 0

immer stetig ist und dies in dieser Funktion bedingt durch

1 + x^{2}

immer der Fall ist, jedoch frage ich mich welchen Beweis es hier rechentechnisch gibt ?

Viele Dank für die bisherigen Antworten.

rundblick aktiv_icon

18:36 Uhr, 20.08.2018

.
"Beispielsweise für die Funktion:

f (x) = ln (1 + x^{2}

)"

wie du richtig erkannt hast, ist dein Beispiel für alle

x \in R

definiert und stetig
da kannst du die drei hier

\to 18 : 45

Uhr,

17.08.2018

genannten Schritte
problemlos für jedes

x

durchführen

. .

. also "brotlose Kunst".

nochmal:
lies doch einfach mal den Elfengleichen Text

\to 09 : 25

Uhr,

18.08.201 \to

("Um Stetigkeit zu hinterfragen und zu studieren ...usw..usw.." )
und suche dir Beispielfunktionen mit den dort genannten "Verdachtsstellen"

dann kannst du sinnvollere Übungen machen

.

anonymous

19:35 Uhr, 20.08.2018

Lieber Marcel; die Dinge liegen einerseits sehr einfach und andererseits auch wieder sehr undurchsichtig. Wie ist das jetzt mit der Logaritmusfunktion; weißt du überhaupt, wie die definiert ist?
Weil als Student solltest du längst daran gewöhnt sein, dass die Uni alles vom Kopf auf die Füße stellt. Was Normalos bewiesen haben wollen, setzt die Uni axiomatisch voraus; und was alle Welt unbesehen glaubt, sollst du beweisen.
Und die Uni fährt gut damit

. .

.
Ich staunte nicht schlecht, als Prof. Neunzert/Kaiserslautern

1975

im Telekolleg die Logaritmusfunktion einführte als " Aufleitung " der Normalhyperbel .

ln (x) := \int_{1}^{x} \frac{1}{x} d x; x > 0 (1 a)

Nach dem Hauptsatz der

D & I

ist Logaritmus insbesondere differenzierbar; ihre Stetigkeit ist gar kein Tema

. .

.
Neunzerts Sorge zielt in eine ganz andere Richtung. Wenn Definition

(1 a)

wirklich Logaritmus sein soll, dann müssen wir die ganze Formelsammlung rauf und runter beweisen. Wenn auch nur eine Formel nicht stimmt, kann

(1 a)

nicht Logaritmus sein

. .

.
Ich bin ja akademisch gebildet; ich neige eher zu der Fragestellung: Wenn

(1 a)

nicht Logaritmus ist - was, bitte, soll es denn dann sein?
Erste Schritte; aus

(1 a)

folgen die trivialen Abschätzungen

x < = > 1 \to ln (x) < = > 0 (1 b)

insbesondere werden wir unten noch brauchen

ln (1) = 0 (1 c)

Als Beispiel wollen wir den logaritmischen

\to

Gruppen_Isomorphismus herleiten.

ln (x y) = ln (x) + ln (y) (2.1 a)

Dieses war der erste Streich; und der zweite folgt nachher

. .

Marcel11 aktiv_icon

21:00 Uhr, 20.08.2018

Dann überprüfe ich die oben genannte Abschnittweise definierte Funktion auf Stetigkeit.

y (x) = x + x^{2}

≤ 2

y (x) = 2 x + 2 x > 2

Zuerst überprüfe ich beide Funktionen separat auf ihre Stetigkeit. Die obere Funktion ist eine Parabel und hat somit keine Sprungstellen. Die untere Funktion ist eine Gerade und hat somit auch keine Sprungstellen.

Nun überprüfe ich die eventuell kritische Stelle xo=2

1.

y (2) = 6

lim y (x)

mit

x

in Richtung

2 = 6

y (2) = lim y (x)

mit

x

in Richtung 2

Also ist die Funktion in

x 0 = 2

stetig. Somit ist die Funktion überall stetig.

Ist das so korrekt ?

ledum aktiv_icon

22:06 Uhr, 20.08.2018

Hallo
Dass etwas keine Sprungstellen hat, heisst nicht, dass es stetig ist, (Beispiel

sin (\frac{1}{x})

hat keine Sprungstellen, ist aber in

x = 0

nicht stetig, auch nicht durch f(0)=Zahl stetig zu machen.)
also einfach

x^{2}

und

x

sind stetige Funktionen, der Rest des Beweises ist richtig.
Gruß ledum

rundblick aktiv_icon

22:07 Uhr, 20.08.2018

.
"Dann überprüfe ich die oben genannte Abschnittweise definierte Funktion auf Stetigkeit.

y (x) = x + x^{2}

≤ 2

y (x) = 2 x + 2 x > 2

... ... ... ... ... ... ... ... ... .

. "

\to 1

. bei der ersten Gleichung ist nicht

y (x) \leq 2

\to 2

. es wäre geschickter, den beiden Teil-Funktionen zur Unterscheidung verschiedene Namen zu geben:
also:

y (x) = f (x) = x + x^{2} . .

. für

\to x \leq 2

y (x) = g (x) = 2 x + 2 . .

. für

\to x > 2

richtig hast du festgestellt, dass sowohl

f

als auch

g

für alle

x \in R

stetig wären

dann stellst du richtig fest, dass für die abschnittsweise definierte Funktion

y

ein
Funktionswert an der Stelle

x = 2

existiert

\to y (2) = 6

und es ist

lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 6

und jetzt ermittelst du

\to lim_{x \to 2^{+}} g (x) = 6

und da also

lim_{x \to 2^{-}} f (x) = lim_{x \to 2^{+}} g (x) = 6 \Rightarrow

der Grenzwert von

y (x)

an der Stelle

x = 2

existiert und ist

\to lim_{x \to 2} y (x) = 6

. .

. und stimmt also mit dem Funktionswert

y (2)

überein ..

Ergebnis:
die abschnittsweise definierte Funktion

y

ist überall stetig,
hat an der Stelle

x = 2

keine Sprungstelle (sondern nur eine "Knickstelle", sie
wird also an der Stelle

x = 2

nicht differenzierbar sein, hat dort dann keine Tangente)

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

nebenbei :
hoffentlich wird der Typ, dem es ausführlichst gelingt an der Fragestellung und am
Thema vorbei alles vollzuschreiben ( super Zitat-> "Ich bin ja akademisch gebildet")
nicht schon wieder (wie bereits angedroht) sein "episches Wissen" versprühen..
ach ja..->
Die Heldentaten des frühen Königs von Uruk und seines Freundes Enkīdu werden im

\to

Gilgamesch-Epos bzw. in den ihm vorangehenden Erzählungen berichtet....
.

Marcel11 aktiv_icon

21:21 Uhr, 21.08.2018

Nabend,

vielen Dank für eure Hilfe! Ich habe nun denke ich verstanden, wie ich einen Beweis für Stetigkeit angehe. Danke für eure Geduld!

1436659

1436399

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?