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Beweis von Stetigkeit mit Normen

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: euklidische Norm, Norm, Stetigkeit

Molly23

19:02 Uhr, 01.05.2012

Guten Abend ihr Lieben,

ich habe ein Problem beim Lösen meiner Aufgabe und hoffe, dass mir hier jemand helfen kann ;-) Die Aufgabe lautet:

Sei

∣ ∣ \cdot ∣ ∣^{(1)}

eine Norm auf

ℝ^{n}

. Sei

∣ ∣ \cdot ∣ ∣

die euklidische Norm auf

ℝ^{n}

∣ ∣ (x_{1}, . . ., x_{n}) ∣ ∣ = (x_{1}^{2} + . . . + x_{n}^{2})^{\frac{1}{2}}

.
Sei

f : (ℝ^{n}, ∣ ∣ \cdot ∣ ∣) \to (ℝ^{n}, ∣ ∣ \cdot ∣ ∣^{(1)})

definiert durch

f (x) = x

. Zeigen Sie, dass

f

stetig ist.

Hinweis: Da

f

linear ist, reicht es aus, dass es eine Konstante

C \in ℝ^{+}

gibt, sodass

\binom{s u p}{x \in ℝ^{n} : ∣ ∣ x ∣ ∣ = 1} ∣ ∣ f (x) ∣ ∣^{(1)} \leq C

.
Wir bemerken, dass wir schreiben können:

(x_{1}, . . ., x_{n}) = x_{1} (1, 0, . . ., 0) + . . . + x_{n} (0, . . ., 0, 1)

.

Über Hilfe würde ich mir wirklich sehr freuen!

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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12:42 Uhr, 02.05.2012

{| | f (x) | |}^{(1)} = {| | x | |}^{(1)} = {| | x_{1} e_{1} + ... + x_{n} e_{n} | |}^{(1)}

\leq {| | x_{1} e_{1} | |}^{(1)} + ... + {| | x_{n} e_{n} | |}^{(1)}

= | x_{1} | \cdot {| | e_{1} | |}^{(1)} + ... + | x_{n} | \cdot {| | e_{n} | |}^{(1)}

\leq | x | \cdot c + . .

+ | x | \cdot c

= n \cdot c \cdot | x |

= C \cdot | x |

mit

C = n c

und

c = max {| | e_{i} | |}^{(1)}

Molly23

15:30 Uhr, 08.05.2012

Danke! :-)

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