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Beweis von Ungleichungen
Universität / Fachhochschule
Tags: Fibonacci, Ungleichung
 
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Guten Abend, ich soll beweisen, dass für alle natürlichen Zahlen ohne 1 und 0 gilt, dass die entsprechende Fibonacci-Zahl größer oder gleich ( (1 + ) / 2) ^n-2 ist. Ich habe mir nun gedacht, diese Ungleichung mithilfe einer Induktion beweisen zu können. Wäre dieser Ansatz richtig? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Ja, das sollte glatt durchgehen |
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Okay, dann würde ich es so machen: 1. IA Da dann eben 2 nehmen (weil 0 und 1 verboten sind). Die zweite Fibonacci-Zahl wäre 1. Da auf der anderen Seite der Gleichung hoch 0 steht, kommt da ebenfalls 1 raus, sodass die Gleichung hier stimmt. 2. IV Hier schreibe ich die Gleichung noch einmal auf mit k statt n 3. IS Hier zeige ich, dass sie auch für k+1 gilt. Angefangen habe ich, indem ich die rechte Seite der Gleichung zerlegt habe. Ich erhalte dann auf dieser rechten Seite die rechte Seite der IV mal ( (1 + ) / 2). Das wären rund 1,2. Die Sache ist, dass ich jetzt nicht genau weiß, wie ich weitermachen soll. Ich kann ja nicht einfach sagen, dass der Abstand aller Fibonacci-Zahlen mindestens 1,2 ist. Aber wie löse ich weiter auf? |
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Das Problem ist, dass du wegen der Rekursionsgleichung stets zwei Vorgänger brauchst. Demnach musst du auch bei IA zwei Fälle checken. MIt anderen Worten: Zeige, dass die Aussage für gilt. Zeige, dass die Aussage für gilt. Zeige, dass die Aussage für gilt, sofern sie sowohl für als auch für gilt Setze . Das ist übrigens nicht rund sondern rund Du benötigst irgendwo eine besondere Eigenschaft dieser Zahl, nämlich . |
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Ich glaube, ich hab jetzt was hinbekommen. Vielen Dank!! |
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