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Beweis von lemma

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Primzahlen

Teilbarkeit

Tags: Elementare Zahlentheorie, ggT, Primzahl, Teilbarkeit

danja aktiv_icon

13:30 Uhr, 03.05.2017

Hallo liebe Mathefreunde,

Wir sollen in Mathe ein lemma aus der Vorlesung beweisen. Wir behandeln im moment den ggT und ich habe so meine Probleme mit Beweisen.

Es seien

a, b, n

∈

N

dann gilt

ggT(a

\cdot b, n)

teilt ggT(a,n)

\cdot

ggT(b,n)

Ich weiß, dass ich mit der Primfaktorzerlegung arbeiten muss, aber wie ich den Beweis wirklich aufbaue und durchführe verstehe ich nicht.

Danke im Voraus

danja

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Rechnen mit Klammern
Teilbarkeit natürlicher Zahlen

DrBoogie aktiv_icon

13:48 Uhr, 03.05.2017

Seien

p_{1}, . . ., p_{k}

alle verschiedene Primzahlen, die in der Primfaktorzerlegung von

a

oder

b

oder

n

vorkommen.
Dann gibt's Zahlen

a_{1}, . . ., a_{k}

b_{1}, . . ., b_{k}

und

n_{1}, . . . n_{k}

, so dass

a = p_{1}^{a_{1}} \cdot . . . p_{k}^{a_{k}}

b = p_{1}^{b_{1}} \cdot . . . p_{k}^{b_{k}}

n = p_{1}^{n_{1}} \cdot . . . p_{k}^{n_{k}}

(einige von

a_{i}

b_{i}

und

n_{i}

können

0

sein).
Dann gilt

a b = p_{1}^{a_{1} + b_{1}} \cdot . . . p_{k}^{a_{k} + b_{k}}

g g T (a, n) = p_{1}^{min {a_{1}, n_{1}}} \cdot . . . p_{k}^{min {a_{k}, n_{k}}}

g g T (b, n) = p_{1}^{min {b_{1}, n_{1}}} \cdot . . . p_{k}^{min {b_{k}, n_{k}}}

und

g g T (a b, n) = p_{1}^{min {a_{1} + b_{1}, n_{1}}} \cdot . . . p_{k}^{min {a_{k} + b_{k}, n_{k}}}

.
Und da

min {a_{i} + b_{i}, n_{i}} \leq min {a_{i}, n_{i}} + min {b_{i}, n_{i}}

für alle

i

,
folgt dass

g g T (a b, n)

ein Teiler von

g g T (a, n) g g T (b, n)

ist.

Fl4mer aktiv_icon

17:43 Uhr, 08.05.2017

Was meinst du mit dem

min {}

DrBoogie aktiv_icon

17:43 Uhr, 08.05.2017

Minimim aus den Zahlen in Klammern.

Fl4mer aktiv_icon

17:58 Uhr, 08.05.2017

Verstehe ich noch nicht richtig. Wenn ich jetzt

min {2,4}

habe, was ist dass dann?

DrBoogie aktiv_icon

18:05 Uhr, 08.05.2017

Dann ist es

2

, weil

2

kleiner als

4

ist.
Weitere Beispiele:

min {7, 3} = 3

min {1, 3} = 1

min {4, 0} = 0

.

Was man nicht alles im Studentenforum erklären muss. :-O

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18:14 Uhr, 08.05.2017

Ok aber woher weiß ich dann, ob dass ggT(a,n)=

p^{min {a, n}} \cdot . .

. *p^(min

{

ak,nk}) gilt ?

Ps: die vorherige Frage war schon ziemlich dumm xD

DrBoogie aktiv_icon

18:26 Uhr, 08.05.2017

"Ok aber woher weiß ich dann, ob dass ggT(a,n)= "

Dann denk etwas mehr darüber nach. Eigentlich ist es offensichtlich.
Vielleicht hilft es, konkrete Beispiele zu betrachten, wie

a = 12

n = 18

Fl4mer aktiv_icon

20:06 Uhr, 08.05.2017

DrBoogie müsse in deinem Beweis nicht in der vorletzten Zeile ein

\cdot

anstatt ein

+

stehen?

Edit:
Rechts von dem

\leq

zeichen
Ach ne ist ja im Exponent stimmt alles sry

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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