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Beweis von symmetrischer Differenz zweier Sets

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Beweis, Diskrete Mathematik, logik, symmetrische Differenz

anonymous

16:47 Uhr, 19.10.2020

Hallo zusammen

Ich habe eine Frage und zwar zum Beweis folgender Aussage welche ich zu Beweisen habe (proof or disproof):

Für alle Sets X und Y existiert ein Set Z so dass:

X = (Y \ Z) \cup (Z \ Y)

Nun ist ja die Definition von der symmetrischen Differenz:

(x \in B ∣ x \notin C) \cup (x \in C ∣ x \notin B))

Wie beweise ich diese Aussage? Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen!

Vielen Dank im Voraus!!!

Liebe Grüsse

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

17:16 Uhr, 19.10.2020

Hallo,

betrachte die Lage von

X

im Verhältnis zu

Y

:

Falls

X \subseteq Y

, dann kannst du

Z := Y \ X

nehmen:

Y Δ Z = (\underset{X}{\underset{⎵}{Y \ Z}}) \cup (\underset{\emptyset}{\underset{⎵}{Z \ Y}})

Falls

X \cap Y = \emptyset

, so nimmst du

Z := Y \cup X

Y Δ Z = (\underset{\emptyset}{\underset{⎵}{Y \ Z}}) \cup (\underset{X}{\underset{⎵}{Z \ Y}})

Interessant ist offenbar nur der Fall

X \cap Y, X \cap \overline{Y} \neq \emptyset

.
Wir kürzen ab:

A := X \cap Y \subseteq Y

und

B := \overline{Y} \cap X \subseteq \overline{Y}

.

Wir versuchen

Z := (Y \ A) \cup B

.

Dann gelten

Y \ Z = A

und

Z \ Y = B

, d.h

Y Δ Z = A \cup B = X

.

Beachte, dass die beiden ersteren Fälle sich aus dem letzterem ergeben: im 1. ist

B = \emptyset

, im 2.

A = \emptyset

.

Mfg Michael

DrBoogie aktiv_icon

17:49 Uhr, 19.10.2020

Die Frage wurde schon vorgestern gestellt:
www.onlinemathe.de/forum/Beweis-Sets-diskrete-Mathematik

Es hilft, zuerst um Forum zu suchen, bevor man eine (angeblich) neue Frage stellt.

anonymous

17:51 Uhr, 19.10.2020

Vielen Dank für Ihre Hilfe! Wie gehe ich bei solchen Aufgaben am Besten vor? Ich wollte das ganze zuerst durch einen Widerspruchsbeweis lösen wo ich jedoch nicht weiterkam.

DrBoogie aktiv_icon

17:53 Uhr, 19.10.2020

Wie ich schon im anderen Thread geschrieben habe, ich habe rumprobiert, mit

X \cup Y

und

X \ Y

usw.

anonymous

18:26 Uhr, 19.10.2020

Stimmt sorry, habe den anderen Thread nicht gefunden...War dort jedoch super erklärt! Vielen Dank!

ermanus aktiv_icon

18:27 Uhr, 19.10.2020

Hallo,
hier noch außer Konkurrenz ein paar Schlauheiten meinerseits:
Sei

U

eine Obermenge aller betrachteten Mengen.
Dann ist "

△

" eine binäre Verknüpfung in der Potenzmenge von

U

.
Diese ist assoziativ und kommutativ.
Die leere Menge

\emptyset

ist das neutrale Element und
jede Menge

X

ist zu sich selbst invers.
Damit liegt eine abelsche Gruppe vor und wir können
die Gleichung

X = Y △ Z

nach

Z

auflösen:

Z = X △ Y

.
Gruß ermanus

michaL aktiv_icon

09:40 Uhr, 20.10.2020

Hallo,

noch ein paar "Weisheiten" von mir:

@ermanus: Man kann schließlich zeigen, dass

x \in X_{1} △ \dots △ X_{n}

genau dann gilt, wenn

∣ {1 \leq i \leq n ∣ x \in X_{i}} ∣

ist ungerade. (Hoffe, mich da richtig zu erinnern.)
Außerdem ist mir vage in Erinnerung, dass man diese Operation geeignet zu einem booleschen Verband erweitern kann. Welche zweite Operation sich dazu eignet, fällt mir aber gerade nicht ein. Ich kann auch erst Freitag wieder nachschauen.

@Default1 und DrBoogie: Ich stimme DrBoogie voll und ganz zu: Mathematik muss auch aus Probieren bestehen. Ich verstehe weder die Grundschule noch die weiterführende. Dort wird Mathematik als Fach so aufgebaut, dass der Eindruck entsteht, es gebe für jedes Problem eine Lösung und wer sie nicht kenne, sei einfach nur zu blöd.
Das ist mitnichten der Fall. Wenn einem nichts besseres einfällt, ist Probieren die beste Möglichkeit. Ich fürchte, nun spätestens im Mathematikstudium kommt man darum nicht herum (ich jedenfalls bin es nicht).
Dazu zwei Anmerkungen:
1. Probieren kann häufig zu Misserfolgen führen.
2. Probieren dauert (oft) lange.

Daher braucht es (aus meiner Sicht) bei einem Mathematiker stets zwei Dinge:
1. Abhärtung gegen (kurzfristige) Misserfolge
2. Ausdauer

Auf diese Weise gibt man nicht so schnell auf, wenn sich der Erfolg nicht sofort einstellt und probiert schlimmstenfalls weiter.
Klar, eine gemeinsame Übungsgruppe kann diese zum Teil sehr anstrengende Arbeit aufteilen und dadurch verringern. Aber: Aus der Schule kennt man diese Teamarbeit. TEAM steht da ja oft für: Toll, Ein Anderer Macht's.

Soll heißen: Lernen tut man schließlich allein.

Fazit: Mathematik hat einen hohen Probieranteil. Das Probieren ist naturgemäß nicht sofort von Erfolg gekrönt und dauert daher oft lange.

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

09:54 Uhr, 20.10.2020

@MichaL:
"(Hoffe, mich da richtig zu erinnern.)"
Ja, so ist es :-)
Sei

U

eine gemeinsame Obermenge, dann kann man jede Teilmenge

M

mit ihrer charakteristischen Funktion

χ_{M}

"gleichsetzen", wobei man
aber die Werte 0 und 1 als Elemente von

Z / 2 Z

auffasst. Die Menge der
Abbildungen

(Z / 2 Z)^{U}

mit der üblichen Addition von Abbildungen ist dann
isomorph zum direkten Produkt

\prod_{x \in U} Z / 2 Z

und es gilt

χ_{X △ Y} = χ_{X} + χ_{Y}

.
Deine Erörterung zur mathematischen Arbeit finde ich ganz prima !
Gruß ermanus

DrBoogie aktiv_icon

09:59 Uhr, 20.10.2020

"Soll heißen: Lernen tut man schließlich allein."

Dem kann ich nicht zustimmen, ich finde "allein Lernen" ziemlich unproduktiv.
Eine Geschichte von mir dazu aus den alten Zeiten, als ich noch Mathe studiert habe (das waren frühe 90e in Moskau, übrigens ziemlich wilde Zeiten).
Wir hatten ein sehr breites Pflichtprogramm (viel breiter als man es in Deutschland kennt), von Zahlentheorie bis zu Stochastischen Prozessen, über Mathematische Logik, Variationskalkäl und sogar Theoretische Mechanik (und vieles mehr). Und bekanntlich kaum ein Mathematiker ist gleich begabt auf allen Gebieten. Meine größte Schwäche war Wahrscheinlichkeitstheorie (das ist lustig, weil ich später genau diese Wahrscheinlichkeitstheorie hierzulande unterrichtet habe). Zum Glück hatte ich einen Freund, der ziemlich gut darin war. Also nahm ich ein Buch und ein Heft und ging zu ihm, wenn es darum ging, die Aufgaben zu lösen. Er hat immer versucht, mich wegzuschicken, weil er keinen Bock darauf hatte, ich war aber hartnäckig. Und ich habe dadurch am Ende das Ganze viel schneller verstanden, als wenn ich es alleine machen müsste. Ein anderer Freund half mit mir mathematischen Logik (leider auch eine Schwachstelle von mir) usw. Und natürlich half ich auch den anderen bei den Themen, in welchen ich gut war - Analysis, Funktionentheorie, Differentialgleichungen, Zahlentheorie.
Dieses "sich gegenseitig helfen" war äußerst hilfreich für alle. Natürlich hatten wir dabei zwei Vorteile: die meisten lebten zusammen in einem (riesigen) Studentenwohnheim. Und wir waren sehr viele (400 Studenten in einem Jahrgang).
Aber trotzdem bin ich überzeugt, dass man diese Art von Zusammenlernen auch in weniger günstigen Umgebungen anstreben sollte.

Was jetzt die Methode des Rumprobierens angeht, natürlich ist es meistens besser, nicht wild, sondern intelligent rumzuprobieren. Dabei hilft einfach die gesammelte Erfahrung, denn wenn auch Mathematik sehr groß ist, ist die Anzahl von bei den Beweisen und Konstruktionen verwendeten Ideen in Wirklichkeit ziemlich beschränkt, ein erfahrener Mathematiker ist daher schon bisschen ähnlich wie ein Handwerker mit einem großen Werkzeugkasten. In welchem in diesem Fall Ideen liegen, die man an der neuen Aufgabe versuchen könnte.
Ja, es gibt auch Aufgaben, bei welchen man eine ganz neue Idee braucht (bei einigen solchen Aufgaben springt dann später die Fields-Medaille raus :-)), aber sie sind sehr selten (vielleicht auch nie) in diesem Forum anzutreffen.

ermanus aktiv_icon

10:11 Uhr, 20.10.2020

Der "Alleinlerne-Aspekt" ist mir garnicht so aufgefallen.
Ich habe in meinem Studium in den 70-er Jahren immer mit anderen zusammen gelernt.
Mir kam es bei Michaels Beitrag mehr auf das Experimentieren, Probieren
und die Ausdauer an.

michaL aktiv_icon

16:21 Uhr, 20.10.2020

Hallo,

vielleicht zur Erläuterung: Jemand anderes kann nicht für mich lernen. Das meinte ich mit der Aussage. Natürlich kann ich andere fragen.
Lerngruppen haben es oft an sich, dass man die Ergebnisse anderer schlicht abschreibt. Das verstehe ich nicht unter lernen.

Insofern: Lernen muss ich es irgendwann selbst (vielleicht besser als "allein").

Mfg Michael

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