Beweis zehner logarithmus von 2 ist irrational

Hallo,

der Beweis, dass log_10 (2) eine irrationale Zahl ist, ist so ähnlich wie der Beweis, dass ${\displaystyle \sqrt{2}}$ eine irrationale Zahl ist:

Annahme: Sei log_10 (2) eine rationale Zahl, so kann ich diese durch einen Bruch zweier ganzen Zahlen darstellen: (n ungleich 0)

${\displaystyle {\mathrm{log<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{10}\left(2\right)=\frac{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

${\displaystyle 2={10}^{\frac{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}$

Dann die beiden seiten hoch n :

${\displaystyle 2^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}={10}^{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Jetzt heißt es, das wäre ein Widerspruch, weil 10 durch 5 teilbar ist, aber die 2 nicht. Also ist die Zahl irrational.

Das verstehe ich nicht, weil für mich sind die m und n die Variablen.

Was hat das mit den Basen auf sich? Kann mir jemand erklären warum das ein Widerspruch sein soll?

Viele Grüße

Alex

Tausend Dank!