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Beweis zu Abbildungen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: injektiv, Linear Abbildung, surjektiv

 
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manko96

manko96 aktiv_icon

13:29 Uhr, 18.02.2019

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Hallo ich habe eine kleine Frage zu einem Beweis.

Die Aufgabenstellung lautet: Seien X,Y,Z Mengen, f:X→Y und g:Y→Z Abbildungen. Sei gof injektiv und f surjektiv. Zeigen sie, dass dann g injektiv ist.

Als Lösungsansatz habe ich: Da f surjektiv ist, gibt es zu y1,y2∈Y Elemente x1,x2∈X mit f(x1)=y1 und f(x2)=y2

Nur komme ich nicht so richtig weiter

Vielen Dank im Voraus
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ledum

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18:41 Uhr, 18.02.2019

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Hallo
da bietet sich wohl ein Widerspruchsbeweis an. was folgt. wenn g nicht injektiv ist, aber g(f) injektiv?
Gruß lul
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ermanus

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18:52 Uhr, 18.02.2019

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Hallo,
oder du benutzt die Vorarbeit, die du schon geleistet hast,
und gehst von g(y1)=g(y2) aus ...
manko96

manko96 aktiv_icon

19:09 Uhr, 18.02.2019

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Also ich weiß jetzt nicht ob das richtig ist.

Wegen y1≠y2 gilt x1≠x2 und da gof injektiv ist, folgt (gof)(x1)≠(gof)(x2)→g(f(x1))≠f(f(x2)).
manko96

manko96 aktiv_icon

19:10 Uhr, 18.02.2019

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Also ich weiß jetzt nicht ob das richtig ist.

Wegen y1≠y2 gilt x1≠x2 und da gof injektiv ist, folgt (gof)(x1)≠(gof)(x2)→g(f(x1))≠f(f(x2)).
Antwort
anonymous

anonymous

22:44 Uhr, 18.02.2019

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der Tipp "Widerspruchsbeweis" ist doch zielführend...
z.B.

inj
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

22:53 Uhr, 18.02.2019

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Hallo manko96,
um 19:10 Uhr warst du durchaus fast am Ziel.
Du hattest geschlossen:
y1≠y2⇒x1≠x2⇒g(f(x1))≠g(f(x2)), (letzteres wegen der Injektivität von g∘f),
also g(y1)≠g(y2), also ist g injektiv.
Frage beantwortet
manko96

manko96 aktiv_icon

12:25 Uhr, 19.02.2019

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Vielen Dank !!