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Beweis zu Blockmatrizen

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Matrizenrechnung

Tags: blockmatrizen, Determinanten, Matrizenrechnung

RalphMo aktiv_icon

20:21 Uhr, 28.05.2012

Es seien zwei Matrizen in Kastchenform gegeben

A = (\begin{array}{rcl} A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4} \end{array})

B = (\begin{array}{rcl} B_{1} & B_{2} \\ B_{3} & B_{4} \end{array})

mit

A_{1}, B_{1} \in M a t (m x m, K), A_{2}, B_{2} \in M a t (m x n, K), A_{3}, B_{3} \in M a t (n x m, K)

und

A_{4}, B_{4} \in M a t (n x n, K)

.
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen.

(a)

A + B = (\begin{array}{rcl} A_{1} + B_{1} & A_{2} + B_{2} \\ A_{3} + B_{3} & A_{4} + B_{4} \end{array})

(b)

A * B = (\begin{array}{rcl} A_{1} B_{1} + A_{2} B_{3} & A_{1} B_{2} + A_{2} B_{4} \\ A_{3} B_{1} + A_{4} B_{3} & A_{3} B_{2} + A_{4} B_{4} \end{array})

(c)

A^{t} = (\begin{array}{rcl} A_{1}^{t} & A_{3}^{t} \\ A_{2}^{t} & A_{4}^{t} \end{array})

(d)

s p u r (A) = s p u r (A_{1}) + s p u r (A_{2})

(e)

d e t (A) = d e t (A_{1}) d e t (A_{4}) - d e t (A_{2}) d e t (A_{3})

Sei nun

A_{3} = 0

(f)

d e t (A) = d e t (A_{1}) d e t (A_{4})

(g)

χ_{A} = χ_{A_{1}} χ_{A_{4}}

(h)

m_{A} = m_{A_{1}} m_{A_{2}}

(m=Minimalpolynom)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

17:00 Uhr, 29.05.2012

Hallo,

da du die Lösung in Zusammenarbeit erstellen möchtest, wäre es hilfreich, wenn du deine Überlegungen mit einfließen ließest.

a) ist nämlich nicht schwierig.
b) findet man per google unter dem Stichwort "Blockmatrix".
c) ist eher wieder aus der Gruppe trivial. Aber Gedanken muss man sich schon machen...

Mfg Michael

RalphMo aktiv_icon

12:22 Uhr, 30.05.2012

also im moment hänge ich gerade an der e). Hast du dazu nen guten einfall?

michaL aktiv_icon

00:47 Uhr, 01.06.2012

Hallo,

unter de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Blockmatrizen finden sich doch wertvolle Hinweise, ob sich das überhaupt beweisen lässt.

Mfg Michael

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