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Beweis zu Borel-Mengen
Universität / Fachhochschule
Wahrscheinlichkeitsmaß
Tags: Borel, Wahrscheinlichkeitsmaß
 
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Hallo, ich muss eine . eine Aufgabe bearbeiten, die etwas tricky ist. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen.. Und zwar ist zu beweisen, dass die Potenzmenge von dem GESCHLOSSENEN Intervall nicht mit der sigma-algebra der borel-messbaren Mengen gemein ist. Dazu haben wir einen nicht ganz korrekten Beweis, den wir kommentieren und korrigieren sollen ist das Lebesque-Maß): Angenommen alle Teilmengen von seien messbar. Für jede Menge ⊂ ist dann λ(X ) definiert und eine Zahl in . Betrachte nun die Menge λ(X ⊂ λ(X ) /∈ . Da die Aussagen λ(B) und λ(B) offenbar äquivalent sind, kommt es zum Widerspruch. Vermutlich liegt ein Fehler im Schluss auf aber wo genau? Ich kann mir vorstellen, dass es damit zu tun hat, dass die Borelmengen die von offenen mengen erzeugte sigma-algebra bezeichnet, und dass überabzählbar ist. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Wegen ist ohnehin |
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@hagman Und das heißt jetzt was? |
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OK, eigentlich nichts. Aber da man so explizit angeben kann, ist die restliche Argumentation gewiss suspekt. Aber tatsächlich kommt der Knackpunkt erst bei (schließlich ist nur eine Definition und Definitionen können nicht falsch sein) Inwiefern sollen und äquivalent sein? Noch dazu "offenbar" . ? Angesichts der Tatsache, dass eine Menge und keine Zahlist, war möglicherweise ohnehin gemeint, aber auch da wundere ich mich über die Behauptung. Was man höchstens hat, ist: Hieraus ergibt sich aber logisch nur na und? |
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Naja zu einem Widerspruch zu kommen, wäre ja gut um die Eingangsaussage zu beweisen... 1)Verstehe ich es denn richtig, dass wir zeigen müssen: Potenzmenge von I0,1I ist nicht identisch mit Borel I0,1I oder geht es um die darauf definierte Sigma-Algebra?? Die muss doch dann natürlich anders aussehen. 2)Die Aussage von ist doch nur dass L(B)=L(I0,1I) in I0,1I liegt,oder? Könnte es damit zu tun haben, dass Lebesque sigma-algebren Borel sigma-algebren sind? (Wir bewegen uns mit PM ja im hoch oder?) |
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Die Potenzmenge von ist (wie die Borel-Algebra) eine sigma-Algebra: Das Komplement einer beliebigen Teilmenge ist wieder eine Teilmenge und die abzählbare Vereinigung beliebieger Teilmengen ist eine Teilmenge (und natürlich: selbst ist eine Teilmenge von Gewissermaßen ist die Potenzmenge die größtmögliche sigma-Algebra auf während die Borel-Algebra die kleinstmögliche unter allen sigma-Algebren ist, die zumindest alle offenen Mengen enthalten. Die Frage ist: Ist diese kleinstmögliche bereits so umfangreich, dass sie alle Teilmengen von enthält? Um den Unterschied zwischen Lebesgue-messbar und Borelmenge geht es in dieser Aufgabe weniger (OK, der angegebene falsche Beweis benuttz eher Lebesgue-Mengen statt Borel-Mengen, aber bleibt trotzdem falsch) |
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Aha...danke für die Erläuterung! Dass die kleinstmögliche nicht mit der größtmöglichen sigma-Algebra übereinstimmt, scheint logisch. Gehe ich richtig in der Annahme, dass 1: an erstmal nichts auszusetzen ist? 2: aber aus irgendeinem Grund so nicht sinnvoll definiert ist? |
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Also ist wohl doch nicht korrekt, es gibt nicht messbare Mengen in unserem Intervall..... Ist das dann bei die Menge nicht in B? oder was ist mit gemeint? Ist damit die nicht messbare Teilmenge aus definiert? Mir ist überhaupt nicht klar, wie der Schluss auf zustandekommt? Woher kommt denn diese Aussage? |
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ist in der Tat nicht korrekt, aber es handelt sich ja auch genau um die Aussage, die man per Widerspruchsbeweis wiederlegen möchte. Wie der Schluss auf nch dazu "offensichtlich", zustande kommen soll,ist auch mir, wie ich oben schon gesagt hatte, schleierhaft - aber irgendwo muss ein falscher Beweis ja einen Fehler haben. Wenn dieser Beweis, dass die Algebra der LEBESGUE-Mengen echt kleiner ist als die Potenzmengenalgebra, funktionieren würde, käme er ja offenbar auch ohne Auswahlaxiom aus. Das geht meines Wissens nicht. (Allerdings kann man den entsprechnden Beweis zur BOREL-Algebra durchaus ohne Auswahlaxiom durchführen). Gangbar wäre folgender Beweis: Auf definiere die Äquivalenzrelation . Sei ein Repräsentantensystem von ~ Zu setze Wäre ein translationsinvariantes Maß, das auf der vollen Potenzmengenalgebra definiert ist und für das ist, so wäre da aus A durch Zerlegung in zwei Teile und Translation dieser Teile entsteht. Da die paarweise disjunkt sind, folgt im Widerspruch zur Sigma-Additivität |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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