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Beweis zu Faktorringen
Universität / Fachhochschule
Ringe
Tags: Ring
 
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Guten Tag, anbei sind zwei Aussagen zu dem Faktorring R/I. Wie würde man die am besten beweisen? MfG, Noah  |
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Hallo, zur ersten Aussage: Sei ein Ideal in . Dann ist genau dann ein Integritätsring, wenn nullteilerfrei ist, d.h. wenn aus folgt: oder . Dies bringe in Zusammenhang mit der Primidealeigenschaft. zur zweiten Aussage: Sei ein Ideal in . Es besteht eine Bijektion zwischen den Idealen von und den Idealen von , die als Teilmenge enthalten (,die sozusagen "über liegen"). Bedenke, dass ein Körper ein Ring ist, der nur sich selbst und das Nullideal als Ideale enthält. Gruß ermanus |
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Danke für die Antwort. Zum zweiten Beweis: Wie würde diese Bijektion dann aussehen? Folgert das sie aus dem Homomorphiesatz? |
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Sei der kanonische Homomorphismus: Dann ist für jedes Ideal mit das Bild ein Ideal in . Umgekehrt ist für jedes Ideal in ein Ideal in mit . Diese beiden Zuordnungen zwischen Idealen sind offenbar invers zu einander. |
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Also zusammenfassend: Man nimmt ein "Überideal" von M welches dann Isomorph zu einem Ideal aus R/M ist. Da R/M Körper folgt die Aussage. Was mich noch verwirrt ist warum man behaupten kann, dass auch ein Ideal ist. Überseh isch da was offensichtliches? |
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Sei ein Ideal in . Dass eine additive Gruppe ist, ist ja klar, weil ein Gruppenhomomorphismus ist. Nun sei beliebig. Dann ist . |
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Okay, verstanden :-) Vielen Dank! |
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