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Beweis zu Nullfolgen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Nullfolge, Produktfolge, Summenfolge

anonymous

10:23 Uhr, 10.12.2016

Hallo kann mir bitte jemand hierbei weiterhelfen $. .$ .
$lim (a_{n} + b_{n}) =$
$lim (a_{n}$ × $b_{n}) =$

Wie muss man denn dabei vorgehen...
Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

abakus

11:15 Uhr, 10.12.2016

Nullfolge --> zu jedem Epsilon existiert...

Benenne nun das für $a_{n}$ verwendete Epsilon als $ε_{1}$ und das für $b_{n}$ verwendete Epsilon als $ε_{2}$ .

Bilde dann die Summe $a_{n} + b_{n}$ . Diese Summe muss ab einem bestimmten N kleiner oder gleich...

anonymous

21:16 Uhr, 10.12.2016

Danke für die Antwort....
Aber ich verstehe nicht was ich machen soll
Nullfolge zu jedem $ε$ existiert ein $n_{0}$ oder wie meinst du das?...
Und ich verstehe auch nicht wie man das mit dem benennen machen soll weil oh je

mihisu aktiv_icon

21:55 Uhr, 10.12.2016

Eine Folge ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ mit $lim_{n \to \infty} x_{n} = 0$ bezeichnet man als Nullfolge.

$lim_{n \to \infty} x_{n} = 0$ bedeutet nach Definition:

Zu jedem $ɛ > 0$ gibt es ein $N \in ℕ,$ so dass für alle $n \in ℕ$ mit $n \geq N$ gilt: $| x_{n} - 0 | < ɛ$

\\\\

Du hast gegeben, dass $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ und $lim_{n \to \infty} b_{n} = 0$ sein soll. Das bedeutet:

Zu jedem $ɛ_{1} > 0$ und jedem $ɛ_{2} > 0$ gibt es $N_{1}, N_{2} \in ℕ,$ so dass gilt:
$| a_{n} | < ɛ_{1}$ für alle $n \in ℕ$ mit $n \geq N_{1}$
$| b_{n} | < ɛ_{2}$ für alle $n \in ℕ$ mit $n \geq N_{2}$

Das darfst du also verwenden, um damit zu zeigen dass dann auch ${(a_{n} + b_{n})}_{n \in ℕ}$ und ${(a_{n} \cdot b_{n})}_{n \in ℕ}$ Nullfolgen sind.

Um nun zu zeigen, dass dann auch ${(a_{n} + b_{n})}_{n \in ℕ}$ eine Nullfolge ist, musst du nun zeigen, dass für jedes $ɛ_{3} > 0$ ein $N_{3} \in ℕ$ existiert, so dass für alle $n \in ℕ$ mit $n > N_{3}$ die Ungleichung $| a_{n} + b_{n} | < ɛ_{3}$ erfüllt ist.

Vorgehensweise:
Schätze $| a_{n} + b_{n} |$ durch $| a_{n} |$ und $| b_{n} |$ ab. Dafür solltest du eine bekannte Ungleichung kennen. $| a_{n} |$ und $| b_{n} |$ lassen sich dann ab einem gewissen $N_{3}$ (wie muss dieses $N_{3}$ aussehen, $d . h$ . wie hängt $N_{3}$ mit $N_{1}$ und $N_{2}$ zusammen) durch $ɛ_{1}$ bzw. $ɛ_{2}$ abschätzen. Durch geeignete Wahl von $ɛ_{1}$ und $ɛ_{2}$ in Abhängigkeit von $ɛ_{3}$ schaffst du dann die Abschätzung $| a_{n} + b_{n} | \leq ... < ɛ_{3}$ für alle $n$ ab dem gewissen $N_{3},$ womit du gezeigt hättest dass ${(a_{n} + b_{n})}_{n \in ℕ}$ eine Nullfolge ist.

\\\\
Die Benennungen $N_{1}, N_{2}, N_{3}, ɛ_{1}, ɛ_{2}, ɛ_{3}$ sollen hier hauptsächlich dazu dienen, dass man nicht alle vorkommenden $ɛ$ und alle vorkommenden $N$ (bzw. $n_{0})$ gleich nennt. Sonst könnte es leicht zu Verwechlungen/Unklarheiten der folgenden Art kommen: War jetzt dieses $ɛ$ das gleiche wie dieses $ɛ$ ?

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