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Beweis zu ggT(a,b) =|a| <=> a|b für alle a,b € Z

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Tags: Beweis, Funktion, ggT

 
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BitteHelftMir

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11:39 Uhr, 01.08.2019

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Oben genannten Beweis soll ich erbringen, habe aber leider keine Ahnung wie.
Ich bin im Beweisen super schlecht, obwohl ich die meisten nachvollziehen kann, bringe ich selbst keine zustande.
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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abakus

abakus

12:28 Uhr, 01.08.2019

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"ggT(a,b) =|a|"

Na, das heißt doch
1) |a| ist ein Teiler von a
2) |a| ist ein Teiler von b
3) Von allen gemeinsamen Teilern von a und b ist |a| der größte.

1) und 3) sind für deinen Beweis unerheblich.
Was dir zu tun bleibt:
Schlussfolgere aus
2) |a| ist ein Teiler von b,
dass auch a ein Teiler von b ist.
Dazu benötigst du die Definition der Teilbarkeit und die Definition des Betrags einer Zahl.
Antwort
HAL9000

HAL9000

13:34 Uhr, 01.08.2019

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> 3) Von allen gemeinsamen Teilern von a und b ist a der größte.

Es ist ein wenig Vorsicht geboten, das uneingeschränkt so zu formulieren: Schließlich gibt es auch noch den Fall a=0,b=0, auch in diesem Fall sind die üblichen Definitionen von Teilbarkeit und ggT durchaus sinnvoll, und auch die hier im Thread zu beweisende Äquivalenzaussage. :-)

Antwort
abakus

abakus

13:56 Uhr, 01.08.2019

Antworten
"Schließlich gibt es auch noch den Fall a=0,b=0, "

der aber der Voraussetzung
ggt(a,b)=|a| NICHT entspricht. Oder meinst du, dass 0 ein Teiler von 0 ist???
Antwort
HAL9000

HAL9000

14:21 Uhr, 01.08.2019

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> Oder meinst du, dass 0 ein Teiler von 0 ist???

Ja, genau das meine ich (und ohne die drei Fragezeichen). Lies mal nach, was Teilbarkeit bedeutet: :-)

ab gilt genau dann, wenn es eine ganze Zahl k mit ka=b gibt. Im Fall a=b=0 gibt es eine solche Zahl k (man hat sogar die Qual der Wahl...).

Und es ist auch ggT(0,0)=0, denn eine Eigenschaft des ggT ist, dass jeder gemeinsame Teiler der Operanden auch Teiler des ggT sein muss. Im Falle a=b=0 ist nun JEDE ganze Zahl gemeinsamer Teiler, und es gibt aber nur eine ganze Zahl mit der Eigenschaft, dass alle ganzen Zahlen ihr Teiler sind: Die Null.
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