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Oben genannten Beweis soll ich erbringen, habe aber leider keine Ahnung wie. Ich bin im Beweisen super schlecht, obwohl ich die meisten nachvollziehen kann, bringe ich selbst keine zustande. |
Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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"ggT(a,b) =|a|" Na, das heißt doch 1) |a| ist ein Teiler von a 2) |a| ist ein Teiler von b 3) Von allen gemeinsamen Teilern von a und b ist |a| der größte. 1) und 3) sind für deinen Beweis unerheblich. Was dir zu tun bleibt: Schlussfolgere aus 2) |a| ist ein Teiler von b, dass auch a ein Teiler von b ist. Dazu benötigst du die Definition der Teilbarkeit und die Definition des Betrags einer Zahl. |
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> 3) Von allen gemeinsamen Teilern von und ist der größte. Es ist ein wenig Vorsicht geboten, das uneingeschränkt so zu formulieren: Schließlich gibt es auch noch den Fall , auch in diesem Fall sind die üblichen Definitionen von Teilbarkeit und ggT durchaus sinnvoll, und auch die hier im Thread zu beweisende Äquivalenzaussage. :-) |
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"Schließlich gibt es auch noch den Fall a=0,b=0, " der aber der Voraussetzung ggt(a,b)=|a| NICHT entspricht. Oder meinst du, dass 0 ein Teiler von 0 ist??? |
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> Oder meinst du, dass 0 ein Teiler von 0 ist??? Ja, genau das meine ich (und ohne die drei Fragezeichen). Lies mal nach, was Teilbarkeit bedeutet: :-) gilt genau dann, wenn es eine ganze Zahl mit gibt. Im Fall gibt es eine solche Zahl (man hat sogar die Qual der Wahl...). Und es ist auch ggT(0,0)=0, denn eine Eigenschaft des ggT ist, dass jeder gemeinsame Teiler der Operanden auch Teiler des ggT sein muss. Im Falle a=b=0 ist nun JEDE ganze Zahl gemeinsamer Teiler, und es gibt aber nur eine ganze Zahl mit der Eigenschaft, dass alle ganzen Zahlen ihr Teiler sind: Die Null. |
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