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Beweis zu gleichseitigem Dreieck
Universität / Fachhochschule
Tags: Übriges
 
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anonymous 17:59 Uhr, 10.07.2006  |
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Bitte dringend um schnelle Hilfe!!!! A sei der Mittelpunkt eines Kreises und AB sein Radius. C sei einer der beiden Schnittpunkte der Mittelsenkrechten von AB mit dem Kreis. Behauptung: Das Dreieck ist immer gleichseitig. Beweisen Sie diese Behauptung oder geben sie, falls sie falsch ist, ein Gegenbeispiel |
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Hallo, zeichne Dir den Kreis und bezeichne den Kreismittelpunkt mit A. Jetzt zeichnest Du auf dem Kreisbogen irgendwo das B ein und Du verbindest A und B. Nun die Mittelsenkrechte von AB einzeichnen und einen der beiden Schnittpunkte mit den Kreisbogen mit C bezeichnen und den Mittelpunkt von AB mit M bezeichnen (der war nicht vorgegeben, nehmen wir also einen sinnvollen Buchstaben: M). Jetzt hast Du alles was Du brauchst. Das Dreieck ABC ist gleichschenklig, weil der Punkt C auf der Mittelsenkrechten von AB liegt und die Mittelsenkrechte der geometrische Ort aller Punkte ist, die von A und B den selben Abstand haben. Folglich ist |AC|=|BC|. Betrachten wir nun den Winkel bei A (der bei B ist wegen der Gleichschenkligkeit natürlich genauso groß). Für diesen Winkel (nennen wir ihn mal alpha) gilt doch: cos(alpha) = |AM|/|AC| Da M der Mittelpunkt von AB ist gilt: |AM|=1/2*|AB|. Da C ebenfalls auf dem Kreisbogen mit dem Radius |AB| liegt gilt: |AC|=|AB|. Also: cos(alpha) = |AM|/|AC| = (1/2*|AB|)/|AB| = 1/2 Also ist alpha=60°. Ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Basiswinkel 60° sind, ist ein gleichseitiges Dreieck. |
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