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Beweis zum Fundamentalsatz der Algebra
Schüler
Tags: Fundamentalsatz der Algebra.
 
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Liebe Community, wäre jemand so lieb mir den Beweis (aus "The Fundamental Theorem of Algebra) zu erklären, er ist auf Englisch und die ersten drei Hilfssätze (Lemmas) verstehe ich, den vierten und längsten Satz verstehe ich jedoch noch so gut wie gar nicht. Konkret verstehe ich nicht inwiefern das ganze ein Induktionsbeweis sit. Ich denke der Induktionsanfang ist, der Schritt indem der Autor den Grad=0 setzt, ab dieser Stelle ist mir schleierhaft, was Induktionsbeahuptung bzw. Schritt sein sollen). Wenn mir das jemand erklören könnte wäre mir schon geholfen Den Beweis füge ich dieser Frage hinzu. LG Emma    Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Emma, es gibt ja zwei Möglichkeiten, den Induktionsschritt zu formulieren. 1. Du beweist oder 2. du beweist , d.h. du schließt von auf den Nachfolger oder du schließt auf aufgrund des Vorgängers. Der zu beweisende Satz ist: für jede natürliche Zahl und jede ungerade nat. Zahl hat jedes reelle Polynom vom Grade eine komplexe Nullstelle. Im Beweis ist der Induktionsanfang, der lautet: für jede ungerade nat. Zahl hat ein reelles Polynom vom Grade eine komplexe Nst., was ja in einem vorigen Lemma gezeigt wurde. Induktionsvoraussetzung ist nun: für eine natürliche Zahl gelte, dass für jede ungerade nat. Zahl jedes reelle Polynom vom Grade eine komplexe Nst. hat. zu zeigender Induktionsschritt: dann hat auch für jede ungerade nat. Zahl jedes reelle Polynom vom Grade eine komplexe Nst. Gruß ermanus |
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Hallo Ermanus, erstmal vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast! Deine Erklärung ist sehr gut, ich verstehe jedoch noch nicht, warum ist. Ist das so, damit, wenn man 1 reinsetzt eben 0 im Exponenten steht, wie bei dem Induktionsanfang? Wenn ja: Warum benutzt man nicht dieselbe Formel (mit dem in dem Induktionsanfang? (Oder steht es im Zusammenhang mit dem auf Seite das ich übrigens auch nicht verstehe). Warum weiß man also, dass ist? Falls du (Darf ich du sagen?) noch Zeit hast dich weiter mit dem Thema zu beschäftigen, hätte ich noch ein paar Probleme, ich Verstehe nicht: -was es heißt, dass in seinen Nullstellen symmetrisch ist (evtl falsch übersetzt? aber so verstehe ich es) -warum es mindestens zwei gibt, für die die Nullstellen komplex sind (im Allgemeinen inwiefern das Polynom zweiten Grades aus den beiden Werten für folgt) -Wieso lRx] sein kann, wenn sich am Ende rausstellt, dass ai, aj Gruß Emma010 |
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Man "weiß nicht", dass ist, sondern es ist doch so, dass man die Aussage für haben möchte. Für , also hat man sie schon aus dem Lemma. Daher ist es interessant, wie es bei aussieht, wenn man es bereits für weiß. So hangelt man sich durch die Induktion ... ist nicht symmetrisch in seinen Nullstellen, sondern ist als Ausdruck symmetrisch in den Nullstellen von . Das soll bedeuten, dass sich nicht ändert, wenn man die untereinander vertauscht. Damit verändern sich die Koeffizienten der -Potenzen von nicht bei Vertauschen der . Nun lernt man in der Algebra, dass ein symmetrischer Ausdruck, der aus den Nullstellen eines Polynoms gebildet ist, sich als Summe von Produkten der Koeffizienten jenes Polynoms ausdrücken lässt. Wenn also die Koeffizienten von alle reell sind, so sind auch die symmetrischen Ausdrücke aus den Nullstellen von alle reell, also auch die Koeffizienten von , d.h. ist ein reelles Polynom. Gruß ermanus |
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Hallo Ermanus, vielen Dank, damit hast du mich echt ein Stück weiter gebracht! Ich bleibe dran und lasse das ganze erstmal auf mich wirken. Ich habde dich jetzt so verstanden, dass er im Induktionsschritt beweist, dass mit gleich eins beweist um den Beweis zu erbringen. Liege ich damit richtig? Ich frage mich das, weil ich das irgendwie nirgends finden kann. ICh werde jetzt erstmal eine Weile über das gesagt nachdenken und mich dann bei dir melden, also vielen Dank und schönen Tag noch! Gruß Emma |
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Hallo Emma, ich glaube, du hast es noch nicht ganz verstanden. Er schließt aus der Aussage für , die für alle ungeraden gelten möge, auf die Aussage für , die dann für alle ungeraden gilt. Die Induktion läuft nicht über sich schrittweise erhöhendes , sondern über sich schrittweise erhöhendes . Gruß ermanus |
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Hi Ermanus, danke für die Klarifizierung. Kann man anstatt "Er schließt aus der Aussage für 2m−1q, die für alle ungeraden gelten möge" auch sagen: Er schließt aus der Aussage für 2m−1q, die für mindestens ein gilt (Damit meine ich woraus folgt der Gras ist also ungerade)? So war das nämlcih in einem Video erklärt, dass ich mir angeschaut habe. (Manchmal habe ich auch gehört, dass es für alle gilt, aber das hat man ja noch nicht bewiesen, also kann man doch aus einer unbewiesenen Aussage keinen Schluss ziehen). Der Autor benutzt also mit den Worten by the inductive hypothesis, dass die Aussage für mindestens ein gilt. Durch diese Annahme kommt er dann darauf, dass jedes Polynom 2^mq mindestens 2 komplexe Nullstellen hat. Habe ich das richtig verstanden? (Es sind ja eigentlich weil und Element von dem Komplexen Zahlen sind, oder?) Außerdem verstehe ich folgendes, diesen Auszug umfassendes Problem nicht: "Suppose is the splitting field for over lR. in which the roots are . , an' This exists from our discussion in section . We show that at least one of these roots must be in C." man nimmt hier ja schon an, dass ein relles Polynom Nullstellen hat, und war ja der Grad. Jetzt beweist man im folgenden, dass diese auch auch im Komplexen liegen können. Allerdings frage ich mich jetzt, wo die Nullstellen liegen sollen, wenn nicht im Komplexen, es sind doch alle Zahlen komplex (wenn die Internetquelle von eben seriös war). Demzufolge wäre das alles unten überflüssig. Natürlich ist mir klar, dass ich hiern nen üblen Denkfehler drin haben muss, aber ich komm gerade beim besten Willen nicht drauf. (Frage: Warum ist das oben zitierte nciht bereits der Beweis? (oder: warum kann der Körper Zahlen umfassen, die nicht Teil der Komplexen sinjd, wenn es sie (nicht komplexe Zahlen) gar nicht gibt (das ist der einzige Weg, der mir eingefallen ist, wie das ganze Sinn macht) ) Ich hoffe einfach mal, dass ich es jetzt besser verstanden habe, und würde mich über eine Rückmeldung freuen! Gruß Emma |
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Hallo Emma, "Der Autor benutzt also mit den Worten by the inductive hypothesis, dass die Aussage für mindestens ein gilt." <-- Das ist so nicht richtig ausgedrückt. Der Autor benutzt die Induktionsvoraussetzung, dass die Aussage für jedes (!) der Form mit ungeradem gilt. "(Es sind ja eigentlich 2, weil α1 und α2 Element von dem Komplexen Zahlen sind, oder?)" Jein; denn es ist nicht auasgeschlossen, dass ist, d.h. es sind 2 unter Berücksichtigung der Vielfachheit. "man nimmt hier ja schon an, dass ein relles Polynom n Nullstellen hat". Man kann zu jedem reellen Polynom einen Erweiterungskörper von konstruieren, in dem das Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Dieser könnte echt größer als sein, z.B. ist der Funktionenkörper mit einer Unbestimmten ein solcher Erweiterungskörper. Warum sollte man also nicht in einen noch größeren Körper einbetten, dessen Elemente man wieder Zahlen nennen würde. Die von dir angesprochenen Stellen, dass "alle Zahlen" enthält, sagt nichts anderes, als dass nicht mehr durch Hinzufügen von Nullstellen komplexer (inb. reeller) Polynome echt erweitert werden kann. Aber gerade diese Aussage wollen wir ja mit dem Beweis des Hauptsatz herleiten !. Gruß ermanus |
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Hi Ermanus, letzteres habe ich verstanden, aber ich habe noch ein grundsätzliches Verständnisproblem mit dem Induktionsbeweis. Man sagt nach dem Induktionsanfang, dass es für alle d=2^kq mit (bzw halt, dass die Aussage für alle gilt). Aber man hat es ja bis jetzt nur für bzw. bewiesen. Also kann man doch nicht sagen, dass es für alle gilt. Wenn man auf einer unbewiesenen Aussage, dann den Schluss baut, dann ist es doch nicht richtig bewiesen. Deshalb meinte ich, dass man ja nur sagen kann, dass es für ein gilt. Wenn man nun unter dieses Voraussetzung beweist, dass es auch für n=2^mq gilt, hat man den Beweis doch komplett bewiesen, weil man es für 0 bewiesen hat und es dann dank dem induktionsschritt auch für 1 gilt und dann eben auch für 2 usw. Deshalb verstehe ich einerseits nciht, wieso man einfach sagen kann, dass es für alle gilt, und andererseits nciht, wieso meine AUffassung falsch ist Gruß Emma |
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Hallo, so wie du es immer schreibst, kann man es kaum lesen ... Statt "2^m-1q" versuch es doch mal mit "2^(m-1)q", damit man verstehen kann, was du meinst. Dein Problem bei der Induktion ist mir nicht klar. Sei die Aussage "für jedes ungerade hat jedes reelle Polyom vom Grade eine komplexe Nst", dann kannst du doch als Induktionsvoraussetzung, um zu beweisen, nehmen, d.h. die Aussage "für jedes ungerade hat jedes reelle Polynom vom Grade eine komplexe NSt.". Induktionsanfang ist dann "für jedes ungerade hat jedes reelle Polynom vom Grade eine komplexe NSt.", was ja wegen eines der Lemmata richtig ist. Gruß ermanus |
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Hi, mich hat bis jetzt irritiert, dass man eine unbewiesene Aussage ("für jedes ungerade hat jedes reelle Polynom vom Grade 2(m−1)*q eine komplexe NSt." benutzt um zu beweisen. Ich denke mir nämlich immer, dass man noch gar nicht bewiesen hat und es trotzdem einfach benutzt um im Induktionsschritt herzuleiten. Aber ich glaube ich wei0 jetzt, wie das gemeint ist. Man weiß nämlcih ja schon, dass es bei für gilt. Und da man bewiesen hat, dass dann auch gilt, gilt es auch für mit bzw. mit . SO kann man das dann unendlich fortsetzen. Liege ich richtig, wenn ich sage, dass man wenn der Induktionsschritt nicht stimmt auch revidieren muss? Wenn ich damit richtig liege glaube ich, dass ich es verstanden habe Gruß Emma PS: Danke, dass du so geduldig mit mir bist xD |
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Du kannst es dir ja so vorstellen: ... . Vielleicht ist es so klarer. Wenn man aus nicht auf schließen kann, ist die Induktion "kaputt", da die Folgerungskette zerbricht. Irgendwie hast du ein "allgemeines Induktionsverständnisproblem" ;-) Da kann ich dir eigentlich nur raten, das Induktionsprinzip solange immer wieder zu durchdenken, bis es dir vollkommen klar und selbstverständlich erscheint ... Gruß ermanus P.S.: vielleicht noch mal so: bedeutet nicht, dass wahr ist, weil wahr ist, sondern, dass wenn (!) wahr ist, dass dann auch wahr ist. |
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Ok Vielen Dank! Hast mir echt viel weitergeholfen. Dann überdenke ich das alles jetzt nochmal und hoffe, dass mir dann alles logisch erscheint. Gruß Emma |
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