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Beweis zum Fundamentalsatz der Algebra

Schüler

Tags: Fundamentalsatz der Algebra.

 
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Emma010

Emma010 aktiv_icon

18:44 Uhr, 06.10.2019

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Liebe Community,

wäre jemand so lieb mir den Beweis (aus "The Fundamental Theorem of Algebra) zu erklären, er ist auf Englisch und die ersten drei Hilfssätze (Lemmas) verstehe ich, den vierten (s.93) und längsten Satz verstehe ich jedoch noch so gut wie gar nicht.

Konkret verstehe ich nicht inwiefern das ganze ein Induktionsbeweis sit. Ich denke der Induktionsanfang ist, der Schritt indem der Autor den Grad=0 setzt, ab dieser Stelle ist mir schleierhaft, was Induktionsbeahuptung bzw. Schritt sein sollen).
Wenn mir das jemand erklören könnte wäre mir schon geholfen
Den Beweis füge ich dieser Frage hinzu.
LG Emma

seite 1
seite 2
seite3

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

21:09 Uhr, 07.10.2019

Antworten
Hallo Emma,
es gibt ja zwei Möglichkeiten, den Induktionsschritt zu formulieren.
1. Du beweist A(m)A(m+1) oder
2. du beweist A(m)A(m-1),

d.h. du schließt von m auf den Nachfolger oder
du schließt auf m aufgrund des Vorgängers.

Der zu beweisende Satz ist:
für jede natürliche Zahl m und jede ungerade nat. Zahl q
hat jedes reelle Polynom vom Grade 2mq eine komplexe Nullstelle.

Im Beweis ist m=0 der Induktionsanfang, der lautet:
für jede ungerade nat. Zahl q hat ein reelles Polynom vom Grade
20q eine komplexe Nst., was ja in einem vorigen Lemma gezeigt wurde.

Induktionsvoraussetzung ist nun:
für eine natürliche Zahl m>0 gelte, dass für jede ungerade nat. Zahl q
jedes reelle Polynom vom Grade 2m-1q eine komplexe Nst. hat.

zu zeigender Induktionsschritt:
dann hat auch für jede ungerade nat. Zahl q jedes reelle Polynom
vom Grade 2mq eine komplexe Nst.

Gruß ermanus

Emma010

Emma010 aktiv_icon

23:04 Uhr, 07.10.2019

Antworten
Hallo Ermanus,

erstmal vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast!
Deine Erklärung ist sehr gut, ich verstehe jedoch noch nicht, warum m>0 ist. Ist das so, damit, wenn man 1 reinsetzt eben 0 im Exponenten steht, wie bei dem Induktionsanfang? Wenn ja: Warum benutzt man nicht dieselbe Formel (mit dem -1) in dem Induktionsanfang?
(Oder steht es im Zusammenhang mit dem m>k auf Seite 93., das ich übrigens auch nicht verstehe).
Warum weiß man also, dass m<0 ist?

Falls du (Darf ich du sagen?) noch Zeit hast dich weiter mit dem Thema zu beschäftigen, hätte ich noch ein paar Probleme, ich Verstehe nicht:
-was es heißt, dass H(x) in seinen Nullstellen symmetrisch ist (evtl falsch übersetzt? aber so verstehe ich es)
-warum es mindestens zwei h gibt, für die die Nullstellen komplex sind (im Allgemeinen inwiefern das Polynom zweiten Grades aus den beiden Werten für h folgt)
-Wieso H(x)E lR[x] sein kann, wenn sich am Ende rausstellt, dass ai, aj E

Gruß
Emma010
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

23:23 Uhr, 07.10.2019

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Man "weiß nicht", dass m>0 ist, sondern es ist doch so,
dass man die Aussage für 20q,21q,22q, haben möchte.
Für m=0, also n=20q hat man sie schon aus dem Lemma.
Daher ist es interessant, wie es bei m>0 aussieht, wenn man
es bereits für m-1 weiß. So hangelt man sich durch die Induktion ...
H(x) ist nicht symmetrisch in seinen Nullstellen, sondern ist
als Ausdruck symmetrisch in den Nullstellen ai von f(x).
Das soll bedeuten, dass H(x) sich nicht ändert, wenn man die ai untereinander
vertauscht. Damit verändern sich die Koeffizienten der x-Potenzen
von H(x) nicht bei Vertauschen der ai. Nun lernt man in der Algebra,
dass ein symmetrischer Ausdruck, der aus den Nullstellen eines Polynoms
gebildet ist, sich als Summe von Produkten der ±Koeffizienten jenes
Polynoms ausdrücken lässt. Wenn also die Koeffizienten von f(x)
alle reell sind, so sind auch die symmetrischen Ausdrücke aus den Nullstellen
von f(x) alle reell, also auch die Koeffizienten von H(x), d.h. H(x) ist ein
reelles Polynom.
Gruß ermanus
Emma010

Emma010 aktiv_icon

22:31 Uhr, 08.10.2019

Antworten
Hallo Ermanus,

vielen Dank, damit hast du mich echt ein Stück weiter gebracht!
Ich bleibe dran und lasse das ganze erstmal auf mich wirken. Ich habde dich jetzt so verstanden, dass er im Induktionsschritt beweist, dass n=21q mit q gleich eins beweist um den Beweis zu erbringen. Liege ich damit richtig? Ich frage mich das, weil ich das irgendwie nirgends finden kann.
ICh werde jetzt erstmal eine Weile über das gesagt nachdenken und mich dann bei dir melden, also vielen Dank und schönen Tag noch!

Gruß Emma

Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

22:42 Uhr, 08.10.2019

Antworten
Hallo Emma,
ich glaube, du hast es noch nicht ganz verstanden.
Er schließt aus der Aussage für 2m-1q, die für alle ungeraden q
gelten möge, auf die Aussage für 2mq, die dann für alle ungeraden q gilt.
Die Induktion läuft nicht über sich schrittweise erhöhendes q,
sondern über sich schrittweise erhöhendes m.
Gruß ermanus
Emma010

Emma010 aktiv_icon

18:19 Uhr, 09.10.2019

Antworten
Hi Ermanus,

danke für die Klarifizierung.
Kann man anstatt "Er schließt aus der Aussage für 2m−1q, die für alle ungeraden q
gelten möge" auch sagen: Er schließt aus der Aussage für 2m−1q, die für mindestens ein m gilt (Damit meine ich m=1 woraus folgt 21-1q=1q, der Gras ist also ungerade)? So war das nämlcih in einem Video erklärt, dass ich mir angeschaut habe. (Manchmal habe ich auch gehört, dass es für alle 2m-1q gilt, aber das hat man ja noch nicht bewiesen, also kann man doch aus einer unbewiesenen Aussage keinen Schluss ziehen).
Der Autor benutzt also mit den Worten by the inductive hypothesis, dass die Aussage für mindestens ein 2m-1q gilt. Durch diese Annahme kommt er dann darauf, dass jedes Polynom 2^mq mindestens 2 komplexe Nullstellen hat. Habe ich das richtig verstanden? (Es sind ja eigentlich 2, weil α1 und α2 Element von dem Komplexen Zahlen sind, oder?)
Außerdem verstehe ich folgendes, diesen Auszug umfassendes Problem nicht:
"Suppose F' is the splitting field for f(x) over lR. in which the roots are

a1,... , an' This exists from our discussion in section 6.3. We show that

at least one of these roots must be in C."

man nimmt hier ja schon an, dass ein relles Polynom n Nullstellen hat, und n war ja der Grad. Jetzt beweist man im folgenden, dass diese auch auch im Komplexen liegen können. Allerdings frage ich mich jetzt, wo die Nullstellen liegen sollen, wenn nicht im Komplexen, es sind doch alle Zahlen komplex (wenn die Internetquelle von eben seriös war). Demzufolge wäre das alles unten überflüssig. Natürlich ist mir klar, dass ich hiern nen üblen Denkfehler drin haben muss, aber ich komm gerade beim besten Willen nicht drauf.

(Frage: Warum ist das oben zitierte nciht bereits der Beweis?

(oder: warum kann der Körper F' Zahlen umfassen, die nicht Teil der Komplexen sinjd, wenn es sie (nicht komplexe Zahlen) gar nicht gibt (das ist der einzige Weg, der mir eingefallen ist, wie das ganze Sinn macht) )

Ich hoffe einfach mal, dass ich es jetzt besser verstanden habe, und würde mich über eine Rückmeldung freuen!

Gruß
Emma
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

09:32 Uhr, 10.10.2019

Antworten
Hallo Emma,

"Der Autor benutzt also mit den Worten by the inductive hypothesis, dass die Aussage für
mindestens ein 2m-1q gilt." <-- Das ist so nicht richtig ausgedrückt.
Der Autor benutzt die Induktionsvoraussetzung, dass die Aussage für jedes (!)
n der Form n=2m-1q mit ungeradem q gilt.

"(Es sind ja eigentlich 2, weil α1 und α2 Element von dem Komplexen Zahlen sind, oder?)"
Jein; denn es ist nicht auasgeschlossen, dass α1=α2 ist,
d.h. es sind 2 unter Berücksichtigung der Vielfachheit.

"man nimmt hier ja schon an, dass ein relles Polynom n Nullstellen hat".
Man kann zu jedem reellen Polynom einen Erweiterungskörper von
konstruieren, in dem das Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
Dieser könnte echt größer als sein, z.B. ist der Funktionenkörper
(X) mit einer Unbestimmten X ein solcher Erweiterungskörper.
Warum sollte man also nicht in einen noch größeren Körper
einbetten, dessen Elemente man wieder Zahlen nennen würde.
Die von dir angesprochenen Stellen, dass "alle Zahlen"
enthält, sagt nichts anderes, als dass nicht mehr
durch Hinzufügen von Nullstellen komplexer (inb. reeller) Polynome
echt erweitert werden kann. Aber gerade diese Aussage wollen wir
ja mit dem Beweis des Hauptsatz herleiten !.

Gruß ermanus




Emma010

Emma010 aktiv_icon

16:19 Uhr, 10.10.2019

Antworten
Hi Ermanus,

letzteres habe ich verstanden, aber ich habe noch ein grundsätzliches Verständnisproblem mit dem Induktionsbeweis.
Man sagt nach dem Induktionsanfang, dass es für alle d=2^kq mit k<m (bzw halt, dass die Aussage für alle 2m-1q gilt). Aber man hat es ja bis jetzt nur für m=1 bzw. k=0 bewiesen. Also kann man doch nicht sagen, dass es für alle n=2m-1q gilt. Wenn man auf einer unbewiesenen Aussage, dann den Schluss baut, dann ist es doch nicht richtig bewiesen. Deshalb meinte ich, dass man ja nur sagen kann, dass es für ein n=2m-1q gilt. Wenn man nun unter dieses Voraussetzung beweist, dass es auch für n=2^mq gilt, hat man den Beweis doch komplett bewiesen, weil man es für 0 bewiesen hat und es dann dank dem induktionsschritt auch für 1 gilt und dann eben auch für 2 usw.
Deshalb verstehe ich einerseits nciht, wieso man einfach sagen kann, dass es für alle n gilt, und andererseits nciht, wieso meine AUffassung falsch ist

Gruß
Emma
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:35 Uhr, 10.10.2019

Antworten
Hallo,
so wie du es immer schreibst, kann man es kaum lesen ...
Statt "2^m-1q" versuch es doch mal mit "2^(m-1)q", damit man
verstehen kann, was du meinst.

Dein Problem bei der Induktion ist mir nicht klar.
Sei A(m) die Aussage "für jedes ungerade q hat jedes reelle Polyom
vom Grade 2mq eine komplexe Nst",
dann kannst du doch als Induktionsvoraussetzung, um A(m)
zu beweisen, A(m-1) nehmen, d.h. die Aussage
"für jedes ungerade q hat jedes reelle Polynom vom Grade 2m-1q
eine komplexe NSt.".
Induktionsanfang A(0) ist dann
"für jedes ungerade q hat jedes reelle Polynom vom Grade 20q=q
eine komplexe NSt.", was ja wegen eines der Lemmata richtig ist.
Gruß ermanus

Emma010

Emma010 aktiv_icon

16:53 Uhr, 10.10.2019

Antworten
Hi,
mich hat bis jetzt irritiert, dass man eine unbewiesene Aussage ("für jedes ungerade q hat jedes reelle Polynom vom Grade 2(m−1)*q eine komplexe NSt." benutzt um A(m) zu beweisen. Ich denke mir nämlich immer, dass man A(m-1) noch gar nicht bewiesen hat und es trotzdem einfach benutzt um A(m) im Induktionsschritt herzuleiten.
Aber ich glaube ich wei0 jetzt, wie das gemeint ist. Man weiß nämlcih ja schon, dass es bei n=2m-1q für m=1 gilt. Und da man bewiesen hat, dass dann auch A(m) gilt, gilt es auch für
n=2m-1q mit m=2 bzw. n=2mq mit m=1. SO kann man das dann unendlich fortsetzen.
Liege ich richtig, wenn ich sage, dass man wenn der Induktionsschritt nicht stimmt auch A(m-1) revidieren muss? Wenn ich damit richtig liege glaube ich, dass ich es verstanden habe

Gruß Emma
PS: Danke, dass du so geduldig mit mir bist xD
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

17:04 Uhr, 10.10.2019

Antworten
Du kannst es dir ja so vorstellen:

A(0)A(1)
A(1)A(2)
...
A(m-2)A(m-1)
A(m-1)A(m).

Vielleicht ist es so klarer.
Wenn man aus A(m-1) nicht auf A(m) schließen kann,
ist die Induktion "kaputt", da die Folgerungskette
zerbricht. Irgendwie hast du ein "allgemeines Induktionsverständnisproblem" ;-)
Da kann ich dir eigentlich nur raten, das Induktionsprinzip solange
immer wieder zu durchdenken, bis es dir vollkommen klar und selbstverständlich
erscheint ...

Gruß ermanus

P.S.: vielleicht noch mal so:
PQ bedeutet nicht, dass Q wahr ist, weil P wahr ist,
sondern, dass wenn (!) P wahr ist, dass dann auch Q wahr ist.

Emma010

Emma010 aktiv_icon

17:29 Uhr, 10.10.2019

Antworten
Ok Vielen Dank!
Hast mir echt viel weitergeholfen.
Dann überdenke ich das alles jetzt nochmal und hoffe, dass mir dann alles logisch erscheint.
Gruß Emma
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