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Beweis zur Matrizenmultiplikation
Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe
Tags: invertierbar, matriz, Matrizenmultiplikation, nicht invertierbar
 
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Hey, ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe: Sei n Element N ungerade. Seien A,B (Element) Mnn(R) Matrizen, für die AB = -BA gilt. 1. Beweisen Sie, dass A oder B nicht invertierbar ist. 2. Gilt diese Aussage auch, wenn Sie R durch einen beliebigen Körper ersetzen? 3. Gilt die erste Aussage auch, wenn n gerade ist? zu 1.: Mit ist der Zusammenhang der Behauptung A*b = - B*A mit der Invertierbarkeit der Matrizen vollkommen unklar. zu 2. und 3.: Ich hoffe, dass sich aus dem Entwickeln der Lösung zu 1. auch hierfür Antworten auftun (: Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, habt Ihr eigentlich schon den Begriff der Determinante einer Matrix kennengelernt? Gruß Rentnerin |
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Der Begriff der Determinante ist bekannt. Mir ist auch bekannt, dass ein Invertierbarkeitskriterium dasjenige ist, dass die Determinante der zu invertierenden Matrix einen Wert ungleich Null annehmen muss, wenn sie invertierbar ist. Aber ich sehe die Verbindung zur Aufgabe nicht. Mittlerweile hatte ich zumindest für den Fall, dass beide Matrizen invertierbar sein sollten eine Idee: Sei B die zu A inverse Matrix. Dann sind A und B invertierbar. Insbesondere ist dann A*B = Einheitsmatrix. Was der Aussage widerspricht. Somit ist ein Beispiel gegeben für das die Behauptung nicht zutrifft und es können nicht beide Matrizen invertierbar sein. kann man das so machen? |
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Ich darf also dann hoffentlich davon ausgehen, dass entsprechende Sätze über Determinanten verwendet werden können. Zu 1. Angenommen A und B wären beide invertierbar, dann gilt und . Unter der Voraussetzung, dass n ungerade sein soll folgt: und Du erhältst: und reelle Zahlen, die mit ihrem Negativen übereinstimmen, gibt es nicht so viele. Nachdem also das Produkt den Wert 0 hat, muss mindestens einer der beiden Faktoren den Wert 0 haben. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme. Gruß Rentnerin |
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Vielen Dank. Das hat mir sehr geholfen. Somit ist auch klar, dass die Behauptung für gerade falsch ist. zu Ich meine, dass nicht beliebige Körper verwendet werden können. Kann es in nicht passieren, dass ein Element gleich seinem inversen ist? Allerdings weis ich nicht, wie ich dies begründen soll. Gruß Basti |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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