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Beweis zur komponentenweisen Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Tags: komponentenweisen Konvergenz, Normkonvergenz

 
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Haseandreas

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18:21 Uhr, 20.05.2022

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Liebe Mathefreunde,
ich soll die Äquivalenz zwischen Normkonvergenz im R hoch d und der komponentenweisen Konvergenz in R beweisen. Die Norm soll dabei beliebig sein. Und genau das ist mein Problem, diese Beliebigkeit.
Wie kann ich diesen Beweis in beide Richtungen führen?
Ich bitte um Hilfe und grüße herzlich
Haseandreas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

18:25 Uhr, 20.05.2022

Antworten
"Die Norm soll dabei beliebig sein. Und genau das ist mein Problem, diese Beliebigkeit."

Es gibt einen Satz, dass alle Normen in endlich-dimensionalen Räumen äquivalent sind. Also kannst du eine beliebige wählen, z.B. die Maximumnorm.
Haseandreas

Haseandreas aktiv_icon

22:55 Uhr, 20.05.2022

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Danke auch für diesen Tipp, ich habe damit beide Richtungen der Äquivalenz zeigen können. Dass aus der Normkonvergenz die komponentenweise Konvergenz in R, gilt habe ich über den Ansatz, dass der Betrag jeder Komponente der Folge immer höchstens gleich der Maximumsnorm der Folge ist, genutzt usw.
Die andere Richtung über den Ansatz: wenn jede j-te Komponente des Folgengliedes gegen die j-te Komponente des Vektors konvergiert, so ist der Betrag der Differenz eine Nullfolge und das Maximum dieser Beträge (Maximumsnorm kann auch nur eine Nullfolge sein.
Klingt das schlüssig?
VG
Haseandreas
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DrBoogie

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09:15 Uhr, 21.05.2022

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Mehr oder weniger :-)
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Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

15:04 Uhr, 22.05.2022

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Hier ein Beweis des Komponentendings für die euklidische Norm
und ein Beweis des Normäquivalenzsatzes.
Beides zusammen wäre es dann...

Ich habe den Beweis des Normäquivalenzsatzes allerdings
noch nicht gelesen. Wenn ich ihn gelesen und verstanden habe
und der Thread hier noch läuft, melde ich mich.

20220522_144726
Normäquivalenzsatz
Frage beantwortet
Haseandreas

Haseandreas aktiv_icon

18:26 Uhr, 27.05.2022

Antworten
Danke für die vielen Anregungen, die mir zwei Lösungswege eröffnet haben.
Haseandreas
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Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

23:46 Uhr, 27.05.2022

Antworten
Hab grad den Normäquivalenzsatz-Beweis

gelesen und verstanden, schön getrickst wird da

und ist dann auch alles sehr stringent, wirklich,

kann man sich 'ne Scheibe von abschneiden, schön !

Gezeigt wird da ja zunächst, dass jede Norm zur Maximumsnorm

äquivalent ist, woraus dann per Transitivität die Äquivalenz

aller Normen resultiert, was dort aber nur eher lakonisch erwähnt wird.

Ja, und für Deine Aufgabe ist das Schöne, dass schon

die Äquivalenz einer jeden Norm zur Maximumsnorm für alles reicht.

Damit zeigst Du kurz

( ||x(k)-g||c||x(k)-g|||xl(k)-gl|)
(xl(k)gl  (k) für jedes 1ld, falls x(k)g  (k))

und

( ||x(k)-g||C||x(k)-g||)
(x(k)g  (k), falls xl(k)gl  (k) für jedes 1ld),

fertig !



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Haseandreas

Haseandreas aktiv_icon

00:03 Uhr, 28.05.2022

Antworten
Danke, das werde ich mir für meine Prüfungsvorbereitung auf jeden Fall merken. Ich habe heute eine neue Aufgabe zu abgeschlossenen Mengen hochgeladen, vielleicht kannst du mir, lieber Ulf dort auch helfen, ich wäre dir sehr dankbar.
VG
Haseandreas
Frage beantwortet
Haseandreas

Haseandreas aktiv_icon

00:04 Uhr, 28.05.2022

Antworten
Danke, das werde ich mir für meine Prüfungsvorbereitung auf jeden Fall merken. Ich habe heute eine neue Aufgabe zu abgeschlossenen Mengen hochgeladen, vielleicht kannst du mir, lieber Ulf dort auch helfen, ich wäre dir sehr dankbar.
VG
Haseandreas
Antwort
Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

03:50 Uhr, 28.05.2022

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Nein, der liebe Onkel Ulf wird Dir jetzt mal nicht helfen.
Weißt Du eigentlich, wieviele hier auf onlinemathe
diese Masche abziehen ?
Ich habe Deinen Thread bereits gesichtet und leider
beginnt er direkt schon maximal ärgerlich,
denn a ist dort fest und das ganze Gesabbel da somit
hinfällig. Und was ist (x|a)2, ein chemisches Molekül ?
Ja nö, so schwierig scheint die Aufgabe auch nicht zu sein
und Du musst auch mal selber was hinkriegen.
Wer studiert denn, Du oder ich ?
Meinst Du, ich mach den Job und wohn auf Stütze im Ghetto
und Du kriegst den Bachelor und bist dann Hans im Glück ?
Falsche Wette !
Haseandreas

Haseandreas aktiv_icon

10:38 Uhr, 28.05.2022

Antworten
Ich denke ein Forum für Schüler und Studenten ist auch als ein solches gemeint. Ich löse als Student pro Woche für verschiedene mathematische Fächer zahlreiche Übungsaufgaben und wende mich an das Forum pro Woche mit maximal zwei Aufgaben, das ist für mich ein zu verantwortender Schnitt, aufgrund dessen ich nicht meine Kompetenz in Frage stelle oder stellen lasse. Das mache ich genau dann, wenn ich nicht weiter weiß. Das ist wohl legitim. Ich zeige mich immer dankbar und bin höflich. Ich unterstelle niemandem etwas und werde nicht unsachlich. Das erwarte ich jedoch auch von meinem Gegenüber. Jedes Mitglied hat die freie Wahl in der Entscheidung zu helfen und in der Entscheidung, wie umfangreich die Hilfe ausfällt. Jedoch nicht darin, anderen nahe zu treten.
Viele Grüße
Haseandreas