Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis:Diagonalen halbieren sich im Parallelogramm

Beweis:Diagonalen halbieren sich im Parallelogramm

Universität / Fachhochschule

Tags: diagonal, Parallelogramm, Vektor

schmiddi86 aktiv_icon

18:53 Uhr, 15.11.2009

Hallo,

Ich möchte gerne vektoriell folgendes Beweisen:

Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren sich gegenseitig.

Haben das so ähnlich schon mit den Seitenhalbierenden eines Dreiecks gemacht, leider blick ich noch nicht ganz durch.

Mein erster Schritt war es, die einzelnen Seiten des Parallogramms durch die Ortsvektoren der einzelnen Punkte auszudrücken.

Konkret:

$\vec{u} = \bar{A B} = \vec{b} - \vec{a}$

$\vec{v} = \bar{B C} = \vec{c} - \vec{b}$

$\vec{w} = \bar{C D} = \vec{d} - \vec{c}$

$\vec{z} = \bar{D A} = \vec{a} - \vec{d}$

Dann halbe ich in meinem Parallelogramm noch die Diagnoalen eingezeichnet und den Schnittpunkt beider als S gekennzeichnet.

Nur wie gehe ich denn nun weiter vor?

Danke, Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms
Flächeninhalte
Parallelverschiebung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm

Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms
Flächeninhalte
Parallelverschiebung

deadmanwalking aktiv_icon

19:03 Uhr, 15.11.2009

versuchs mal so, die punkte so anzuschreiben:

A (x_{1}, x_{2})

B (x_{1} + s, x_{2})

C (x_{1} + s + t, x_{2} + h + t)

D (x_{1} + t, x_{2} + h)

wenn ich mir das richtig überlegt habe, müsste das ein parallelogramm ergeben.

jetzt bilde

\vec{d_{1}} = C - A = (s + t, h + t)

\vec{d_{2}} = D - B = (t - s, h)

so, wenn ich jetzt keinen denkfehler dabei habe, müsstest du jetzt eine gerade

g : A + r \cdot \vec{d_{1}}

und eine gerade

h : B + u \cdot \vec{d_{2}}

bilden können, und diese schneiden. dann kommt der schnittpunkt

S

der diagonalen heraus.

dann berechne |AC| und |AS| sowie |BD| und |BS|, dann müsste das theoretisch jeweils die hälfte von einander sein.

weißt du wie ichs meine? :-)

BjBot aktiv_icon

19:14 Uhr, 15.11.2009

Sei AB=u und AD=v

Geschlossene Vektorkette:

AS+SB+BA=0

r*AC+s*DB+BA=0

r(u+v)+s(u-v)-u=0

(r+s-1)u+(r-s)v=0

Da u und v linear unabhängig gilt

r+s-1=0 ----> 2s-1=0 <=> s=0,5=r

r-s=0 <=> r=s

Damit gilt AS=0,5*AC sowie SB=0,5DB was bedeutet dass der Diagonalenschnittpunkt S die Diagonalen im Verhältnis 1:1 teilt und sich die Diagonalen damit also halbieren.

schmiddi86 aktiv_icon

19:46 Uhr, 15.11.2009

Hey super, vielen Dank.

Kurze Rückfrage:

Du schreibst das r+s-1=0 und dann 2s-1=0

Die 2s ergeben sich doch daher, dass du im Schritt darunter zeigst, dass r=s.

Oder?

BjBot aktiv_icon

19:48 Uhr, 15.11.2009

Richtig, ich war nur zu faul das nochmal separat hinzuschreiben ;-)

schmiddi86 aktiv_icon

00:57 Uhr, 16.11.2009

Super, vielen dank!

peterpeter aktiv_icon

22:01 Uhr, 16.11.2009

Ich hätte da mal ein Frage:

Wie kommst du von

(r + s - 1) u + (r - s) v = 0

auf

r + s - 1 = 0

?

Ich habe bis hierhin alles verstanden. Aber da lässt du doch einfach ein teil der Gleichung weg? Das

u

und

v

linear unabhängig sind ist mir schon klar aber wie du von

(r + s - 1) u + (r - s) v = 0

nach

(r + s - 1) = 0

kommst ist mir unklar. Ich hoffe auf schnelle und vielen Dank schonmal im vorraus.

BjBot aktiv_icon

22:16 Uhr, 16.11.2009

Das ist ja nur die eine Gleichung, zudem gilt auch noch r-s=0, was ich auch darunter stehen habe.

Da u und v linear unabhängig sind MÜSSEN die Faktoren vor u und v zwangweise null werden, da zwei Vektoren genau dann linear unabhängig sind wenn das Gleichungssystem p*u+q*v=0 genau eine, also die triviale, Lösung hat.

Demnach muss man also am Schluss das Gleichungssystem bestehend aus beiden Gleichungen r-s=0 und r+s-1=0 lösen.

peterpeter aktiv_icon

22:51 Uhr, 16.11.2009

danke fuer die schnelle antwort habs

ν

verstanden :-)

BjBot aktiv_icon

23:04 Uhr, 16.11.2009

Freut mich wenn es dir geholfen hat =)

679368

678428

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?