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Beweis,Wurze, Irrationalität
Schüler
Tags: Aufgabe
 
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Hallo, Zeigen Sie: ist keine rationale Zahl. Hinweis: die Begründung ist ähnlich wie für . Mein Ansaz: Leider habe ich keinen. Aber ich sage das auf, was ich weiß. Eine rationale Zahl kann als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. mit und Eine irrationale Zahl kann nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. mit und 1]Ich habe mich mit den Beweisen etwas beschäftigt. Muss ich hier einen direkten Beweis machen? Eine andere vom Thema abweichende Frage: Wenn man eine Sache mit dem direkten Beweis beweisen kann, ist es auch dann automatisch mit dem indirekten beweis möglich? Danke, wer helfen kann. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Der Quotient zweier Quadratzahlen ist auch nach Kürzen immer der Quotient zweier Quadratzahlen, weil die Primfaktoren einer Quadratzahl immer paarweise vorkommen. Der Quotient zweier Quadratzahlen kann nie 5 und deshalb die Wurzel dieses Quotienten nie sein. |
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"Mein Ansaz: Leider habe ich keinen. " Es genügt, den sicher dutzendfach im Netz zu findenden Beweis der Irrationalität von zu verstehen und auf zu übertragen. |
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Hallo Stephan und Gast62, danke euch erstmal. Staphan, würde ich das einem Mathematiker als Beweis angeben, dieser würde mich bestimmt auslachen und mir sagen, dass ich einen richtigen formalen mathematischen Beweis her holen sol. Gast62, ich schaue dann im Internet nach, und falls ich Fragen habe, melde ich mich. |
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Hallo Christian, es folgen ein paar Gedanken zur Frage [2], ob sich jeder direkte Beweis auch durch einen indirekten ersetzen lässt. Die Gedanken stellen eher meine persönliche Meinung dar und sind nicht als mathematische Fakten zu verstehen. - Die meisten Mathematiker bevorzugen direkte Beweise indirekten Beweisen gleicher Länge. - Zum Vergleich mal folgende Frage: Kann ich in JEDEN Beweis einen Beweis der Irrationalität von einbauen? Vom logischen Standpunkt her könnte man tatsächlich jeden Beweis (auch wenn in ihm nicht einmal auftaucht) künstlich dadurch aufblähen, dass man als "Hilfsaussage" die Irrationalität von formuliert und beweist und danach diese Hilfsaussage wieder ignoriert. Nur: Ich würde jeden, der das tatsächlich tun würde, fragen, ob er einen Dachschaden hat... ;-) Nicht jeder logisch korrekte Beweis ist auch ein sinnvoller Beweis. In ähnlicher Weise ließe sich jeder direkte Beweis künstlich zu einem logisch korrekten, aber völlig sinnlosen, indirekten Beweis aufblähen. - In meiner persönlichen Vorstellung vom logischen Schließen gibt es eine endliche Anzahl von Beweismethoden, die sich beliebig tief "verschachteln" lassen (z.B. können Hilfsaussagen auf anderen Hilfsaussagen aufbauen und auf jeder dieser "Ebenen" kommt jede Beweismethode in Betracht). Eine dieser Methoden ist der indirekte Beweis. "Direkter Beweis" ist in meiner persönlichen Vorstellung keine dieser Beweismethoden, sondern ein Sammelbegriff für alle Beweise, die auf der höchsten Ebene (nämlich der Ebene der Gesamtaussage) nicht gerade die spezielle Beweismethode indirekter Beweis verwenden. Was ich damit sagen will: Für mich stehen direkter und indirekter Beweis nicht "gleichberechtigt" nebeneinander. Vielmehr ist für mich indirekter Beweis eine Beweismethode von vielen, während alle anderen Beweismethoden unter direkter Beweis subsummiert werden können. Fazit: Ja, theoretisch man kann in jedem Beweis die Beweismethode indirekter Beweis einbauen. Das ist jedoch in der Praxis reichlich sinnlos, wenn diese Methode gar nichts zum Gelingen des Beweises beiträgt. Viele Grüße Tobias |
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