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Beweise
Schüler
Tags: Direkter Beweis
 
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Hallo, „Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist durch 3 teilbar.“ beweisen. Dieser Satz lässt sich folgendermaßen als Implikation formulieren: „Wenn eine natürliche Zahl ist, dann ist durch 3 teilbar.“ Hierm möchte ich schon stoppen. Warum ist dieser Satz so formal aufgeschrieben worden? Ich hätte jetzt so geschrieben Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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"Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist durch 3 teilbar." ist formal eine Aussage. Aussagen sind entweder wahr oder falsch. Als Beweis muss man diese Aussage entweder verifizieren oder falsifizieren. |
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"Ich hätte jetzt so geschrieben :n+1" Was soll denn das. Ich kann nicht erkennen, dass die Aufgabenstellung gelautet hätte: "Vereinfachen Sie den Term (n+(n+1)+(n+2)):3 so weit wie möglich." Es geht um den Beweis eines Satzes (also einer wahren Aussage). Dazu ist es erforderlich, die Voraussetzung und die Behauptung des zu beweisenden Satzes zu formulieren. Das hast du mit "n+1" keinesfalls getan. |
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Das ist doch ganz einfach: kann man kürzen und erhält |
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...und das wäre genau so schlampig formuliert! Siehe Gast62, ein Beweis hat eben eine bestimmte Form. |
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Hallo Respon, Gast und Matheboss, danke euch erstmal. Ich verstehe. Ich frage aber, wenn wir jetzt nicht sofort etwas beweisen wollen, und dann diesen Satz so da sehen. Wie würde man darauf kommen diesen so formal aufzuschreiben? Ich würde ihn so verstehen: Aber so ist der Satz nicht zu verstehen. Warum nicht? |
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Hallo ich verstehe nicht was du meinst. Verstehst du nicht was "3 aufeinander folgende natürliche Zahlen sind. was . sind die 2 auf 5 folgenden Zahlen? und dann die Summe der 3 Zahlen? Was du schreibst ist der Nachfolger einer natürlichen Zahl soll durch 3 geteilt werden? Wie kann man das aus dem Satz rauslesen? verstehst du "aufeinander folgend ? nicht? wie würdest du die Eigenschaft die und und gemeinsam haben beschreiben? Gruß ledum |
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Hallo ledum, danke erstmal. ,,Verstehst du nicht was "3 aufeinander folgende natürliche Zahlen sind.'' In dem zusammenhang nicht. ich würde noch machen. Ich verstehe nicht, wieso ein alleine steht und wieso dann in den klammern 2 und 3 stehen. ,,was . sind die 2 auf 5 folgenden Zahlen?'' ? ,,und dann die Summe der 3 Zahlen? Das habe ich jetzt nich verstanden. ,,verstehst du "aufeinander folgend ? nicht?'' Ich weiß, was ,,nachfolgend'' bedeutet, kann es aber nicht in der formalen Sprache darstellen, weil ich es nicht so darstelle, wie es richtig wäre. ,,wie würdest du die Eigenschaft die und und gemeinsam haben beschreiben?'' Ich weiß es leider nicht- |
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Sei die 1.natürliche Zahl Dann ist die nachfolgende Zahl und die nachfolgende dieser nachfolgenden. Damit hast du die 3 Zahlen. Ein Produkt, das den Faktor 3 enthält, ist logischerweise durch 3 teilbar. Der Nachfolger jeder natürl. Zahl ist . Der Sachverhalt ist also sehr banal,oder? |
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Hallo Christian Die Tags sagen mir, dass es sich um einen direkten Beweis handelt. Im Gegensatz zum Widerspruchsbeweis oder der vollständigen Induktion funktioniert der direkte Beweis in dem Du eine wahre Aussage umformst, bis die zu beweisende Aussage herauskommt. "Drei aufeinanderfolgende Zahlen" sind - wie ledum schreibt - z.B.: und und . Oder allgemeiner Die gemeinsame Eigenschaft ist, dass , und . Somit sind und drei aufeinander- folgende Zahlen. Nennen wir den ersten Summand "", so sind die aufeinanderfolgende Zahlen . Die Summe davon ist n+(n+1)+(n+2) = 3n+3. Nun gilt : und q.e.d. Gruß Maki |
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In dem zusammenhang nicht. ich würde noch machen. Ich verstehe nicht, wieso ein alleine steht und wieso dann in den klammern 2 und 3 stehen. Du meinst und >>was . sind die 2 auf 5 folgenden Zahlen?'' ? Ooops! Haben wir da ein Sprachproblem? Können wir uns darauf einigen, dass man die natürlichen Zahlen der Größe nach anordnen kann und dass es zu jeder natürlichen Zahl einen Nachfolger (wichtiger Bestand der Peano-Axiome) gibt. Der Nachfolger ist also die nachfolgende Zahl. Und welche Zahl folgt nun auf 5? Ich hoffe, wir können uns auf 6 einigen, oder? Und auf 6 folgt ja wohl die 7. Also sind die zwei auf die Zahl 5 folgenden Zahlen die beiden Zahlen 6 und 7. Und wenn die zu beweisende Aussage richtig ist, müsste die Summe dieser drei Zahlen, also durch 3 restlos teilbar sein. ich denke, dass man der Zahl diese Eigenschaft guten Gewissens bescheinigen darf. Welche beiden natürlichen Zahlen folgen nun auf ? Könnten das und sein? Ist durch 3 restlos teilbar? Sieht so aus, nicht? Welche beiden natürlichen Zahlen folgen nun auf die natürliche Zahl n? Meinst du nicht auch, dass man diese beiden Nachfolger mit und bezeichnen könnte, der direkte Nachfolger also um 1 größer ist als und die darauf folgende Zahl um 2. Und die Summe ddieser drei Zahlen sollte dann doch sein. Ist dieses Ergebnis durch 3 teilbar? Wie kann man das denn formal ausdrücken, dass eine ganze Zahl durch 3 restlos teilbar ist? Man könnte schreiben, dass das genau dann der Fall ist, wenn es ein gibt, sodass gilt. Findest du für die Summe ein solches k? Man kann aber auch den Satz benutzen, dass ein Produkt zweier ganzer Zahlen genau restlos durch 3 teilbar ist, wenn mindestens einer der beiden Faktoren durch 3 teilbar ist. Bei könnte durchaus mindestens einer der beiden Faktoren 3 oder durch 3 teilbar sein, nicht? |
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Hallo supporter, Makki76 und Roman-22, danke euch erstmal. Ich habe in letzter Zeit Klausuren geschrieben und konnte halt nicht mehr hier antworten. Jetzt ist erstmal alles vollbracht und ich kann mich wieder hier aufhalten. supporter, sei also eine natürliche Zahl. Okey, ich verstehe. ja, wenn man eine beliebige natürliche Zahl mit 1 addiert, so ist die neu entstandene Zahl der nachfolger. Das habe ich auch verstanden. sei der nachfolger von nachfolger. Auch das habe ich verstanden. Was ich wieder nicht verstehe, wieso dann ? Ich weiß immer noch nicht, warum dieses . am Anfang da ist. Wenn ich doch für beispielsweise einsetzen würde: Dann kommt 6 heraus. Wenn ich mir das sprachlich betrachte: Eine natürliche Zahl addiert mit einer natürlichen Zahl und diese wiederrum addiert mit einer natülichen Zahl Das bedeutet Ich verstehe das nicht. Warum heißt es sprachlich nicht so: Eine natürliche Zahl addiert mit 1 ergibt den Nachfolger. Jetzt von diesem Nachfolger wieder den Nachfolger: Fertig! Aber das wäre wieder falsch. Ich verstehe nicht warum! Makki76, ,,Die gemeinsame Eigenschaft ist, dass und . Somit sind und drei aufeinander- folgende Zahlen. Nennen wir den ersten Summand "n", so sind die aufeinanderfolgende Zahlen . Die Summe davon ist Warum wird es denn so geschrieben, dass ist? Das ist doch klar?! und sind aufeinanderfolgende Zahlen. Ja, habe ich verstanden. Warum sind die aufeinanderfolgende Zahlen ? Was ich genau fragen will hier ist, warum ist das bloße auch eine aufeinanderfolgende Zahl? ist doch und dient doch als Basis? Wieso also? Roman, ,,Und welche Zahl folgt nun auf 5? Ich hoffe, wir können uns auf 6 einigen, oder?'' Ja, können wir. ,,Und auf 6 folgt ja wohl die 7. Also sind die zwei auf die Zahl 5 folgenden Zahlen die beiden Zahlen 6 und Ja. ,,Und wenn die zu beweisende Aussage richtig ist, müsste die Summe dieser drei Zahlen, also durch 3 restlos teilbar sein. ich denke, dass man der Zahl diese Eigenschaft guten Gewissens bescheinigen darf.'' Genau. Welche beiden natürlichen Zahlen folgen nun auf ? Könnten das und sein? Ist durch 3 restlos teilbar? Sieht so aus, nicht?'# Ja, richtig. Ahh, nun habe ich den Gedankenblitz! Ja, jetzt verstehe ich. ,,Welche beiden natürlichen Zahlen folgen nun auf die natürliche Zahl n?'' Dieser Satz hat mir den entscheidenden Durchbruch gegeben. Danke! Und diese Beispiele waren für mich auch sehr gut, so konnte ich konkret mir etwas vorstellen. |
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