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Beweise Aussagen über Matrizen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

 
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anonymous

anonymous

18:36 Uhr, 13.01.2010

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Betrachten Sie eine beliebige Matrix A∈Mn(ℝ) und beweisen Sie folgende Aussagen:

a) Besitzt die Matrix A mindestens eine Nullzeile oder mindestens eine Nullspalte, dann ist A nicht invertierbar

b) Ist die Matrix A nilpotent, d.h. die Matrix A besitzt die Eigenschaft Ar=0 für ein r∈ℕ,r>0, so ist die Matrix E+A invertierbar. Hierbei bezeichne E∈Mn(ℝ) die Einheitsmatrix.

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wie kann ich das ohne Beispiele beweisen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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michaL

michaL aktiv_icon

20:30 Uhr, 13.01.2010

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Hallo Dirk,

zu b) lege ich dir folgenden thread ans Herz, in dem ich den "Beweis" skizziert habe:
http://www.onlinemathe.de/forum/Matrix-bestimmen-2 (vom 10.1., Mittags)

Zu a): Hier kann man es sich einfach oder schwierig machen. Einfach (bei entsprechendem Vorwissen) wäre: Enthält die Matrix eine Nullzeile (bei Nullspalte kann man die transponierte Matrix betrachten, die hat dann eine Nullzeile UND die gleiche Determinante), dann ist ihre Determinante Null (entwickle nach dieser Zeile, alle Summanden haben dann einen Faktor Null, also ergibt sich Null). Matrizen, deren Determinante Null ist, sind nicht invertierbar.

Schwieriger (dafür elementarer) geht es über die Tatsache, dass eine Abbildung nur dann invertierbar ist, wenn sie injektiv ist. Wenn aber die Matrix A in der kten Zeile nur Nullen hat, dann ist A⋅e⃗k=0, aber auch A⋅0⃗=0, d.h. zwei Elemente haben das gleiche Bild. Also ist die Abbildung nicht injektiv und damit auch nicht umkehrbar.
Etwas formal müssen wir jetzt werden: Sei fA die Abbildung, für die fA(v)=A⋅v ist.

Hätte jetzt A eine inverse Matrix B, so wäre die Abbildung fB Umkehrabbildung zu fA. Eine solche Umkehrabbildung gibt es aber nicht. Also kann A keine inverse Matrix haben.

Mfg Michael
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