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Beweise, Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Relationen

Tags: Gruppen, Gruppenhomomorphismus, Gruppenisomorphismus, Relation.

Holomorphie aktiv_icon

22:35 Uhr, 25.11.2013

Hallo liebe Community,

da ich mir noch nicht sicher bin, was genau einen Beweis umfasst, sprich wann etwas auch ausreichend bewiesen ist, wollte ich nachfragen, ob die von mir geführten Beweise so ausreichend sind und auch korrekt sind. Dann habe ich zur letzten zu beweisenden Eigenschaft auch noch eine Frage. Zunächst der theoretische Kontext:

Definition: Seien

(G, \circ)

und

(G ʹ, \circ)

Gruppen. Dann nennt man eine Abbildung

φ : G \overset{}{\to} G ʹ

einen Gruppenhomomorphismus falls gilt:

\forall_{g, h \in G} : φ (g \circ h) = φ (g) \circ φ (h)

Definition: Man nennt

φ

einen Gruppenisomorphismus wenn

φ

ein Gruppenhomomorphismus ist und ein Inverses

φ^{- 1}

existiert.

Zu beweisen:
1) Ist

φ

ein Gruppenisomorphismus so ist

φ^{- 1}

ein Gruppenhomomorphismus.
2) Gruppenhomomorphismen bilden neutrale Elemente auf neutrale Elemente ab, also: Seien

e \in G, e ʹ \in G ʹ

neutrale Elemente, dann:

φ (e) = e ʹ

3) Gruppenhomomorphismen bilden Inverse auf Inverse ab, also:

φ (g^{- 1}) = g ʹ^{- 1}

und insbesondere ist allgemein

φ (g^{- 1}) = φ (g)^{- 1}

.

Meine Beweise:
Zu 1:

φ (g \circ h) = φ (g) \circ φ (h)

Zuerst wende ich das Inverse auf beiden Seiten an, welches existiert, da per Annahme

φ

ein Isomorphismus ist:

\overset{}{\Leftrightarrow} φ^{- 1} (φ (g \circ h)) = φ^{- 1} (φ (g) \circ φ (h))

Dann benutze ich auf der rechten Seite die Definition eines Gruppenhomomorphismusses und links vereinfache ich:

\overset{}{\Leftrightarrow} g \circ h = φ^{- 1} (φ (g)) \circ φ^{- 1} (φ (h))

Nun mache ich das ganze nochmal, erst Inverses, dann wieder die Definition eines Gruppenhomomorphismusses und dann rechts die Abbildungen "verrechnen":

\overset{}{\Leftrightarrow} φ^{- 1} (g \circ h) = φ^{- 1} (φ^{- 1} (φ (g)) \circ φ^{- 1} (φ (h)))

\overset{}{\Leftrightarrow} φ^{- 1} (g \circ h) = φ^{- 1} (φ^{- 1} (φ (g))) \circ ϕ^{- 1} (φ^{- 1} (φ (h)))

\overset{}{\Leftrightarrow} φ^{- 1} (g \circ h) = φ^{- 1} (g) \circ φ^{- 1} (h)

...was ja gerade die Definition eines Gruppenhomomorphismus ist, also ist

φ^{- 1}

ein Gruppenhomomorphismus, wie gefordert.

Zu 2.: Die Behauptung ist, dass

φ (e) = e ʹ

. Man kann schreiben:

φ (e) = φ (e \circ e) = φ (e) \circ φ (e) = e ʹ \circ e ʹ

was genau dann nur gleich

e ʹ

ist, wenn

e ʹ

in der Tat das neutrale Element ist, sodass

e ʹ \circ e ʹ = e ʹ

. Also muss

φ (e) = e ʹ

wahr sein.

Zu 3.: Die Behauptung ist, dass

φ (g^{- 1}) = g ʹ^{- 1}

und außerdem

φ (g^{- 1}) = φ (g)^{- 1}

. Ich beginne mit der vorher bewiesenen Gleichung

φ (e) = e ʹ

. Per Definition des Inversen

e = g \circ g^{- 1}

folgt

φ (g \circ g^{- 1}) = e ʹ

. Per Definition eines Gruppenhomomorphismusses:

φ (g) \circ φ (g^{- 1}) = e ʹ

. Also ist

g ʹ \circ φ (g^{- 1}) = e ʹ

nur genau dann wenn

φ

tatsächlich Inverse auf Inverse abbildet, also

ϕ (g^{- 1}) = g ʹ^{- 1}

.

Sind die Beweise so ausreichend und auch fehlerfrei? Und zu letzterem: in 3. steht ja, dass

φ (g^{- 1}) = φ (g)^{- 1}

ist. Ist das auch noch irgendwie weiter zu beweisen (sprich reicht das, was ich gemacht habe noch nicht) oder ist das nur eine Notationssache?

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

michaL aktiv_icon

08:55 Uhr, 26.11.2013

Hallo,

verwende lieber

x := φ (g)

y = φ (h)

.
Zu zeigen:

φ^{- 1} (x \circ y) = φ^{- 1} (x) \circ φ^{- 1} (y)

Und jetzt deine Ideen einsetzen!

Zu 2.: Nee, der Beweis ist von der Struktur: Wenn

φ (e) = e ʹ

gilt, dann passt ja alles. Das geht so nicht.

Auch hier hilft Verfremdung, d.h. der Ansatz: Ich weiß nicht, was

φ (e)

ist, aber ich nenne es mal

x

.
Ok, also

x = φ (e) = φ (e \circ e) = φ (e) \circ φ (e) = x \circ x

(das war eigentlich eine gute Idee).

Jetzt, warum du verfremdet hast. Aus der Gleichung

x = x \circ x

musst du

e ʹ = x

machen. Nur wie?

3. ist zwar schon zeimlich gut, aber nicht 100% stringent.
Du musst dir vor Augen führen, dass

φ (g) \circ (φ (g))^{- 1} = e ʹ

(sollte klar sein) gilt. Aber auch

φ (g) \circ φ (g^{- 1}) = e ʹ

(weil

φ

ein Homomorphismus ist).

Hat also

φ (g)

(was immer es sein mag) 2 Inverse?

Mfg Michael

Holomorphie aktiv_icon

17:32 Uhr, 26.11.2013

Vielen Dank für deine Antwort Michael!

Zu 1.: Ich verstehe nicht recht was du meinst, bzw. wie ich dann beginnen soll. Wie sieht die erste Gleichung aus, mit der ich was anstellen muss?
Auch glaube ich, dass mein Beweis für 1. so schlicht falsch ist, weil ich zweimal die Umformung

φ^{- 1} (a \circ b) = φ^{- 1} (a) \circ φ^{- 1} (b)

verwende, was ja die Eigenschaft eines Gruppenhomomorphismusses ist, wobei ich ja aber gerade erst beweisen soll, dass

φ^{- 1}

in der Tat ein Gruppenhomomorphismus ist.

Zu 2.: Um zu zeigen, dass

e ʹ = x

könnte ich doch einfach auf die Gleichung

x \circ x = x

das Inverse

x^{- 1}

anwenden:

x = x \circ x \overset{}{\Leftrightarrow} x^{- 1} \circ x = x^{- 1} \circ x \circ x \overset{}{\Leftrightarrow} e ʹ = e ʹ \circ x \overset{}{\Leftrightarrow} e ʹ = x

, q.e.d.

Zu 3.: Es gibt nur ein Inverses, denn: Wenn gilt

φ (g) \circ φ (g^{- 1}) = e ʹ

und

φ (g) \circ (φ (g))^{- 1} = e ʹ

, dann kann ich beide gleichsetzen und

φ (g)

einfach "wegkürzen" (sprich wenn

\circ = +

ist auf beiden Seiten subtrahieren, falls

\circ = \cdot

dann auf beiden Seiten dividieren), und somit ist dann die Gleichheit von

φ (g^{- 1}) = (φ (g))^{- 1}

gezeigt (was ich ja noch wollte), und auch, dass es nur ein Inverses zu jeden Element gibt.

Danke für die zwei Stupser in die richtige Richtung in 2. und 3., über einen Tipp und eine Hilfe bei 1. würde ich mich freuen!

michaL aktiv_icon

18:26 Uhr, 26.11.2013

Hallo,

hm, meine "Hilfe" zu 1. war auch nicht besonders hilfreich, wie im Nachhinein feststellen muss.

Ist

φ : G \to G ʹ

ein ISOmorphismus, also insbesondere eine bijektive Abbildung, d.h. es macht erst einmal Sinn von

φ^{- 1}

als Abbildung zu sprechen.

Nun musst du ja

φ^{- 1} (a b) = φ^{- 1} (a) φ^{- 1} (b)

für alle

a, b \in G ʹ

zeigen.
Verwende, dass es

x, y \in G

geben muss (sogar eindeutige!), sodass

φ (x) = a \overset{}{\Leftrightarrow} φ^{- 1} (a) = x

und

φ (y) = b \overset{}{\Leftrightarrow} φ^{- 1} (b) = y

gelten.

Nun musst du mal schauen, was mit

φ (φ^{- 1} (a b))

einerseits und

φ (φ^{- 1} (a) φ^{- 1} (b))

andererseits ist.
Ziehe daraus deine Schlüsse!

Mfg Michael

Holomorphie aktiv_icon

16:42 Uhr, 27.11.2013

Hallo Michael,

Wenn ich ehrlich bin, stehe ich bzgl. 1. immer noch auf dem Schlauch. Wenn ich es so mache, wie du mir vorgeschlagen hast, dann mache ich das daraus:

Zu beweisen ist, dass wenn

φ

ein Gruppenisomorphismus ist, dann ist

φ^{- 1}

ein Gruppenhomomorphismus, also

φ^{- 1} (a b) = φ^{- 1} (a) φ^{- 1} (b)

. Wenn ich jetzt "mal schaue" was mit der Anwendung von

φ

auf diese Gleichung passiert, dann ist das einzige was mir einfällt, dass

φ (φ^{- 1} (a b)) = a b

ist, und die rechte Seite auch zu

a b

wird, da:

φ (φ^{- 1} (a) φ^{- 1} (b)) = φ (φ^{- 1} (a)) φ (φ^{- 1} (b)) = a b

, wobei das erste Gleichheitszeichen aus der Definition eines Gruppenhomomorphismusses rührt, da wir wissen, dass

φ

ein bijektiver Gruppenhomomorphismus ist.

Ist damit dann

φ^{- 1} (a b) = φ^{- 1} (a) φ^{- 1} (b)

bewiesen? Ich finde es halt ein bisschen komisch, weil ich mit dem, was ich beweisen soll anfange, ich hatte es eher genau umgekehrt erwartet, dass ich mit einer Gleichung anfange, von der ich weiß, dass sie gilt, und dann solange irgendwie umforme und rumschubse, bis ich eben auf